Понятие положительно определенной и знакопеременной квадратичной формы. Теорема Сильвестра о необходимых и достаточных условиях знаконо

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

ПОНЯТИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНО (ОТРИЦАТЕЛЬНО) ОПРЕДЕЛЁННОЙ И ЗНАКОПЕРЕМЕННОЙ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ. ТЕОРЕМА СИЛЬВЕСТРА О НЕОБХОДИМЫХ И ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ ЗНАКООПРЕДЕЛЁННОСТИ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ. ТЕОРЕМА О ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

КУРСОВАЯ РАБОТА

 БАКАЛАВРА

по направлению подготовки 44.03.05 Педагогическое образование

(с двумя профилями подготовки)

профили «Математика», «Информатика»

Дисциплина «Математический анализ»

Выполнил: студент

очной формы обучения

2 курса 1 группы

физико-математического

факультета

Панин Максим Александрович

Научный руководитель:

к. ф.-м. н., старший преподаватель 
кафедры высшей математики, 
Кулманакова Марина Михайловна

Воронеж – 2018

Содержание

Введение        

1.        Некоторые сведения о квадратичных формах        4

2.        Положительно определенные квадратичные формы.   Критерий        ………… Сильвестра.        13

3.Локальные экстремумы функции многих переменных        19

Заключение        26

Литература        27

Введение

      В данной работе изучаются общие свойства квадратичных форм, формулируется и доказывается критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной  формы.

   В качестве приложения теории квадратичных форм рассматривается задача о нахождении экстремальных точек функции нескольких переменных.

Актуальность курсовой работы заключается в том, что квадратичные формы играют важную роль не только в математике, но и в линейной алгебре и, таким образом, являются связующим звеном между линейной алгеброй и математическим анализом

Цель состоит в изучении квадратичных форм, рассмотрения критериев Сильвестра (для положительной и отрицательной квадратичной формы), а также условия существования экстремумов дифференцируемой функции.

Основываясь на поставленной цели, были сформулированы следующие задачи:

1. Рассмотреть виды квадратичных форм.
2. Доказать критерий Сильвестра о необходимых и достаточных условиях знакоопределённости квадратичной формы
3. Установить связь положительной определённости квадратичной формы с собственными значениями её матрицы.

1. Некоторые сведения о квадратичных формах

     Рассмотрим функцию   n  переменных  [pic 1]следующего вида   

                     [pic 2] 

                        [pic 3].                       (1)

Будем предполагать, что выполнено условие:    [pic 4].

Функция  [pic 5]  называется квадратичной формой от переменных [pic 6], [pic 7], [pic 8],[pic 9].

Числа [pic 10], [pic 11], называются коэффициентами квадратичной формы, матрица

                            [pic 12]                                 (2)

называется матрицей квадратичной формы.

Иногда эту квадратичную форму называют симметричной квадратичной формой.  

Далее мы будем предполагать, что всегда выполнено условие  [pic 13]

Определители

[pic 14],   [pic 15],…,    [pic 16]

называются главными минорами матрицы [pic 17].

Пусть  

[pic 18] ,   [pic 19] .

Тогда квадратичную форму можно записать в матричном виде