Моделирование силы «гравитационного» взаимодействия, не пропорциональной обратному квадрату

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Национальный исследовательский

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Физический факультет

Кафедра информационных технологий в физических исследованиях

Моделирование силы «гравитационного» взаимодействия, не пропорциональной обратному квадрату

отчет по вычислительной лабораторной работе

Выполнил:

студент группы 0522Б1ИС1

Экемскин М.Е.

Проверил: доц. каф. ИТФИ, к. ф. - м. н.

Васин А.С.

Нижний Новгород

2024

Формулировка задачи

Много научных исследований посвящено решению проблемы, движения планеты вокруг звезды.

Пусть между телами действует гипотетическая центральная сила притяжения, [pic 1][pic 2]

 где d– малая величина (например, d ~ 0.05).

1. Смоделировать движение планеты вокруг звезды при таком законе взаимодействия. Задать начальные условия, при которых при d= 0 движение планеты происходило бы по окружности. Если при этих условиях взять d ≠ 0, то окажется, что орбита планеты не будет замкнутой. Исследовать изменение орбиты от величины и знака d.

2. Взять d = 1. Найти начальные условия, соответствующие круговой орбите при d = 1. Насколько малым должен быть шаг по времени Δt, что круговая орбита сохранялась бы в течение нескольких периодов?

 3 Изменить V(t=0) примерно на 2% по сравнению с условиями для круговой орбиты из п. 2. Исследовать новую орбиту при уменьшении и увеличении V(t=0). Выполняется ли закон сохранения энергии при таком законе F(r)?

Физическая постановка задачи

Запишем 2-ой закон Ньютона:

[pic 3]

M-масса звезды, m-масса планеты.

[pic 4]

 G-гравитационная постоянная.

Спроектируем уравнение на оси OX и OY:

[pic 5]

Выражение для кинетической энергии:

[pic 6]

Потенциальная энергия находится из соотношения:

 [pic 7]

[pic 8]

Начальные условия:

 [pic 9]

Такому закону соответствует движение Меркурия вокруг Солнца.

Будем считать, что при d = 1, сила тяготения на поверхности Солнца такая же, как при новом законе. Отсюда найдем k = G * Rc, Rc – радиус Солнца.

Найдем скорость, соответствующую круговой орбите. Это будет первая космическая скорость для Меркурия. Запишем 2й закон Ньютона:

[pic 10]

[pic 11]

 – ускорение, при движении по окружности будет равно центростремительному ускорению. R – радиус орбиты[pic 12]

[pic 13]

,[pic 14]

где m – масса Меркурия, M – масса Солнца, G – гравитационная постоянная.

Математическая постановка задачи

Для системы ДУ вида

                 [pic 15] 

рекомендуется использовать метод решения Рунге-Кутты 4го порядка.

Координаты и скорости на k+1 шаге рассчитываются следующим образом:

[pic 16]

где

[pic 17]

Примерное время обращения Меркурия вокруг Солнца 7*107c. Шаг по времени выбран dt=0.001*[pic 18][pic 19]

Алгоритм приложения

1. Нажатие кнопки “Старт”;
2. Считывание начальных условий;
3. Включение таймера;
4. Пересчет координат с помощью метода Рунге-Кутта;
5. Вызов перерисовки окна;
6. Отрисовка траектории;
7. Вывод графиков момента импульса, потенциальной, кинетической, полной энергии.

Интерфейс приложения

1. Окно, в котором наблюдаем анимацию. Это полная картинка, где видно движение планеты вокруг звезды;
2. Поля ввода параметров;
3. 4 окна для вывода графиков зависимостей момента импульса, потенциальной, кинетической и полной энергии от времени;
4. Кнопка «Старт». Используя введенные параметры, запускает алгоритм;
5. Кнопка «Стоп». Прекращает работу алгоритма;
6. Кнопка «Выход». Закрывает окно приложения.

[pic 20]

Рис. 1 Интерфейс программы

Результаты тестирования приложения

1 k=G.

1. Начальные условия: x0= 43*109 м, V0=27*103 м/с, d=0,05.

Орбита планеты прецессирует против часовой стрелки.