Элементы нечеткой логики. Нечеткий вывод

Лабораторная работа «Элементы нечеткой логики. Нечеткий вывод»

Краткий теоретический материал

Нечетким множеством A называется совокупность упорядоченных пар, составленных из элементов x универсального множества X и соответствующих степеней принадлежности :[pic 1]

[pic 2]

где  – степень (функция) принадлежности, указывающая, в какой степени (мере) элемент x принадлежит нечёткому множеству A. Эта функция приписывает каждому элементу  степень его принадлежности к нечеткому множеству A. В частности, можно выделить три случая:[pic 3][pic 4]

1. , означает полную принадлежность элемента x к нечеткому множеству A (т.е. );[pic 5][pic 6]
2. , означает отсутствие принадлежности элемента x к нечеткому множеству A (т.е. );[pic 7][pic 8]
3. , означает частичную (нечеткую) принадлежность элемента x к нечеткому множеству A, чем ближе к единице, тем больше принадлежит (больше определенность, уверенность);[pic 9]

Пример 1.

[pic 10]

[pic 11]

Элемент a принадлежит множеству А в малой степени; элемент b точно принадлежит; элемент с скорее принадлежит чем нет, d не принадлежит (или в зависимости от интерпретации – не известна степень принадлежности).

Пример 2.

X – множество некоторых цветков:

[pic 12]

А – предпочтения Анны, B – Кати:

[pic 13]

[pic 14]

Аналогично четким множествам над нечеткими множествами можно производить ряд операций (объединение, пересечение), функции принадлежности которых могут определяться различными способами (табл. 1).

Таблица 1. Способы задания функции принадлежности при объединении и пересечении нечетких множеств

Отрицанием (дополнением) множества A называется множество  c функцией принадлежности .[pic 21][pic 22]

В рассмотренных выше примерах нечеткие множества задавались на основе дискретного множества Х (в примерах – конечного множества), перечислением степени принадлежности  каждого элемента . В случае, если Х несчетное множество (на практике интересно непрерывное множество действительных чисел), то степень принадлежности  необходимо задавать как функцию на Х: . При этом должны быть выполнены условия к этой функции:[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

для любого .[pic 27][pic 28]

В качестве функций принадлежности обычно используются типовые функции (треугольник, трапеция, гауссова кривая, колокол, сигмоида и др.), вид которых определяется экспертами экспериментально. В силу простоты использования, часто применяют кусочно-линейные функции (рис. 1,2).

[pic 29]

Рисунок 1. Графики функций принадлежности треугольной (а) и трапециевидной (б) формы

[pic 30]

Рисунок 2. Графики линейной Z-образной функции (а) и линейной S-образной функции (б) принадлежности

Пример 3.

Даны 3 нечетких множества А, В, С. На рисунке 3 графически заданы их функции принадлежности. Найти функцию принадлежности множества . Найти степени принадлежности элементов d=5, d=10.[pic 31]

[pic 32]   [pic 33]   [pic 34]

Рисунок 3. Функции принадлежности множеств А, В, С

Решение.

Будем использовать максиминную интерпретацию операций.