Численное дифференцирование и интегрирование
Автор: melvit • Август 3, 2023 • Лабораторная работа • 4,674 Слов (19 Страниц) • 157 Просмотры
Национальный исследовательский университет ИТМО
Мегафакультет трансляционных информационных технологий
Факультет информационных технологий и программирования
Численное дифференцирование и интегрирование
Отчет по лабораторной работе № 1
[pic 1]
[pic 2]
Санкт-Петербург
2022 г.
Задачи
- Реализуйте перечисленные выше методы нахождения производной при фиксированном значении шага.
- Возьмите 2 произвольные функции. Вычислите аналитически производные этих функций. Постройте их графики, а также вычисленные значения численной производной в узлах сетки.
- Найдите среднеквадратичные отклонения численных от истинных значений производной.
- Выполните предыдущий пункт при уменьшении шага (увеличения количества узлов) в 2, 4, 8 и 16. Как изменяется среднеквадратичное отклонение при изменении шага? Постройте график зависимости среднеквадратичного отклонения от величины шага.
- Реализуйте методы численного интегрирования.
- Выберите 2 функции и вычислите для них определенный интеграл на отрезке. Сравните полученное значение с ответом, полученным аналитически.
- Проанализируйте зависимость отклонения численного ответа от аналитического в зависимости от шага при уменьшении его в 2, 4, 8 и 16 раз. Постройте график зависимости отклонения от величины шага.
Теория
Пусть задана функция на отрезке [a, b]. Выберем на этом отрезке шаг сетки[pic 3]
h. В таком случае количество узлов сетки будет
[pic 4]
а сами значения x можно задать как [pic 5]
Для вычисления производной в каждой точке могут применятся различные методы, которые преимущественно отличаются количеством узлом, задействованных в вычислении, а также их расположением относительно точки, в которой находится производная. Степень, в которой входит в оценку погрешности вычисления, называется порядком точности метода. К методам первого порядка точности можно отнести:[pic 6][pic 7]
- Правая разностная производная
[pic 8]
- Левая разностная производная
[pic 9]
В целях повышения точности можно задействовать три узла таким образом, что
[pic 10]
а значение производной в крайних точках можно определить следующим образом
[pic 11]
[pic 12]
Данный подход называется центральной разностной производной и имеет второй порядок точности.
Для нахождения приближенного значения определённого интеграла могут использоваться так называемые квадратурные формулы
[pic 13]
где – некоторые точки из отрезка [a, b].[pic 14]
Введем также сетку узлов на отрезке таким же образом.
[pic 15]
Тогда интегралы I разобьется в сумму элементарных интегралов
[pic 16]
где каждый вычисляется на отрезке Геометрически это будет означать, что вся криволинейная трапеция разбивается на n элементарных криволинейных трапеций. Методы численного интегрирования отличаются способом вычисления площадей этих элементарных криволинейных трапеций.[pic 17][pic 18]
- Формула прямоугольников. Площадь каждой элементарной криволинейной трапеции можно приближать площадью прямоугольников. Причем в зависимости от той точки, которая определяет высоту прямоугольника можно получить либо метод левых прямоугольников
[pic 19]
либо правых прямоугольников
[pic 20]
либо средних прямоугольников
[pic 21]
- Формула трапеций. Используя оба конца отрезка элементарной криволинейной трапеции, можно приближать ее площадь как площадь трапеции
[pic 22]
- Формула Симпсона. Также криволинейную трапецию можно приближать параболой, которая проходит соответственно через точки и . Таким образом [pic 23][pic 24]
[pic 25]
Среднеквадратичное отклонение (СКО):
[pic 26]
...