Контрольная работа по "Математическому анализу"

Задание №1.

а) Имеем неопределенность вида , таким образом нужно выделить ведущие слагаемые, которые по порядку величины определяют значение предела, и разделить на них знаменатель и числитель.

.

б) При подстановке имеем неопределенность вида , избавиться от нее можно разложив на элементарные множители и сократив подобные слагаемые.

.

Таким образом подобный предел не существует в смысле определения конечного предела.

в) Воспользуемся принципом эквивалентности для бесконечно малых функций (или разложением в ряд Тейлора до первых членов). Применим его для косинуса

.

Тут – остаточный член в форме Пеано или класс функций бесконечно малых по отношению к слагаемому в разложении.

.

г) Преобразуем следующим образом

Таким образом

.

Задание №2.

а) Будем находить как производную сложной функции и использовать формулу для производной частного двух функций

б)

Будем находить как производную сложной функции (используем дважды) и используем выражение для производной арккосинуса в виде

Тогда применим для исходной функции

.

в) Будем находить как производную сложной функции

г) Применим технику нахождения производной неявной функции, то есть продифференцируем по х и у

д) По формулам для производной функции, заданной параметрически

Задание №3.

Сначала находим точки пересечения с осями

Из знаменателя сразу находим две вертикальные асимптоты

Находим производную

Точки экстремума

Исходя из точек пересечения с осями, в – локальный минимум.

Находим левосторонние и правосторонние пределы для асимптот

Находим наклонные асимптоты

Теперь можем изобразить график

Задание №4.

а)

Воспользуемся техникой занесения под дифференциал

б)

Применим метод интегрирования