Первый закон Кеплера

Первый закон Кеплера (закон эллипсов)[править | править код]

Первый закон Кеплера

Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением {\displaystyle e={\frac {c}{a}}} e=\frac{c}{a}, где {\displaystyle c} c — расстояние от центра эллипса до его фокуса (фокальное расстояние), {\displaystyle {a}} {a} — большая полуось. Величина {\displaystyle e} e называется эксцентриситетом эллипса. При {\displaystyle c=0} c=0, и, следовательно, {\displaystyle e=0} e=0 эллипс превращается в окружность.

Доказательство первого закона Кеплера

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во Вселенной притягивает каждый другой объект по линии, соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». Это предполагает, что ускорение {\displaystyle a} a имеет форму

{\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=f(r){\hat {\mathbf {r} }}.} \mathbf{a} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = f(r)\hat{\mathbf{r}}.

Вспомним, что в полярных координатах

{\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},} \frac{d\mathbf{r}}{dt} =\dot r\hat{\mathbf{r}} + r\dot\theta\hat{\boldsymbol\theta},

{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.} \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat{\mathbf{r}} + (r\ddot\theta + 2\dot r \dot\theta)\hat{\boldsymbol\theta}.

В координатной форме запишем

{\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=f(r),} \ddot r - r\dot\theta^2 = f(r),

{\displaystyle r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}=0.} r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta = 0.

Подставляя {\displaystyle {\ddot {\theta }}} \ddot \theta и {\displaystyle {\dot {r}}} \dot r во второе уравнение, получим

{\displaystyle r{d{\dot {\theta }} \over dt}+2{dr \over dt}{\dot {\theta }}=0,} r { d \dot\theta \over dt } + 2 {dr \over dt} \dot\theta = 0,

которое упрощается

{\displaystyle {\frac {d{\dot {\theta }}}{\dot {\theta }}}=-2{\frac {dr}{r}}.} \frac{d\dot\theta}{\dot\theta} = -2\frac{dr}{r}.

После интегрирования запишем выражение

{\displaystyle \ln {\dot {\theta }}=-2\ln r+\ln \ell ,} \ln\dot\theta = -2\ln r + \ln\ell,

{\displaystyle \ln \ell =\ln r^{2}+\ln {\dot {\theta }},} \ln\ell = \ln r^2 + \ln\dot\theta,

{\displaystyle \ell =r^{2}{\dot {\theta }},} \ell = r^2\dot\theta,

для некоторой константы {\displaystyle \ell } \ell, которая является удельным угловым моментом ( {\displaystyle \ell =\mathbf {r} \times \mathbf {v} } \ell=\mathbf{r}\times \mathbf{v}).

Пусть

{\displaystyle r={\frac {1}{u}},} r = \frac{1}{u},

{\displaystyle {\dot {r}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\dot {u}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\frac {du}{d\theta }},} \dot r = -\frac{1}{u^2}\dot u = -\frac{1}{u^2}\frac{d\theta}{dt}\frac{du}{d\theta}= -\ell\frac{du}{d\theta},

{\displaystyle {\ddot {r}}=-\ell {\frac {d}{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\dot {\theta }}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}=-\ell ^{2}u^{2}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}.} \ddot r = -\ell\frac{d}{dt}\frac{du}{d\theta} = -\ell\dot\theta\frac{d^2u}{d\theta^2}= -\ell^2u^2\frac{d^2u}{d\theta^2}.

Уравнение движения в направлении {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}} \hat{\mathbf{r}} становится равным

{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {1}{\ell ^{2}u^{2}}}f\left({\frac {1}{u}}\right).} \frac{d^2u}{d\theta^2} + u = - \frac{1}{\ell^2u^2}f\left(\frac{1}{u}\right).

Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как

{\displaystyle f\left({1 \over u}\right)=f(r)=-\,{GM \over r^{2}}=-GMu^{2}} f \left( {1 \over u} \right) = f(r)= - \, { GM \over r^2 } = - GM u^2

где {\displaystyle G} G — универсальная гравитационная константа и {\displaystyle M} M — масса звезды.

В результате

{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u={\frac {GM}{\ell ^{2}}}.} \frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{GM}{\ell^2}.

Это дифференциальное уравнение имеет общее решение:

{\displaystyle u={\frac {GM}{\ell ^{2}}}\left[1+e\cos(\theta -\theta _{0})\right].} u = \frac{GM}{\ell^2} \left[ 1 + e\cos(\theta-\theta_0) \right] .

для произвольных констант интегрирования {\displaystyle e} e и {\displaystyle \theta _{0}} \theta _{0}.

Заменяя {\displaystyle u} u на 1/ {\displaystyle r} r и полагая {\displaystyle \theta _{0}=0} {\displaystyle \theta _{0}=0}, получим:

{\displaystyle r={1 \over u}={\frac {\ell ^{2}/GM}{1+e\cos \theta }}.} r = { 1 \over u } = \frac{ \ell^2 / GM }{ 1+ e\cos\theta}.

Мы получили уравнение конического сечения с эксцентриситетом