Операторы, их собственные функции и собственные значения

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

Решение задач по теме 1:

«Операторы, их собственные функции и собственные значения»

        Основные понятия, законы и формулы

Пусть задано действие, с помощью которого из одной функции [pic 1] получается другая функция [pic 2]

        [pic 3],
тогда говорят, что задан оператор [pic 4].

Действия над операторами:

Сумма – оператор [pic 5], такой, что

        [pic 6].

Произведение – оператор [pic 7], такой, что

        [pic 8].

Единичный оператор [pic 9] – такой оператор, что для любой функции [pic 10] выполняется

        [pic 11].

Обратный оператор [pic 12] по отношению к оператору [pic 13] определяется соотношением

        [pic 14]

Оператор [pic 15] называется линейным, если он удовлетворяет соотношению

        [pic 16],
где [pic 17] и [pic 18] – постоянные.

Если для некоторой функции[pic 19], непрерывной, однозначной, конечной и интегрируемой вместе со своим квадратом во всей области изменения своего аргумента, выполняется соотношение

        [pic 20],
то [pic 21] называется собственной функцией оператора [pic 22], а [pic 23] – собственным значением этого оператора.

Скалярным произведением функций называется

        [pic 24],
где звездочка означает комплексное сопряжение.

Свойства скалярного произведения

[pic 25],

[pic 26],    [pic 27],

[pic 28],    [pic 29], при [pic 30].

Выражение

        [pic 31]
называется нормой функции.

Для ортонормированных функций дискретного спектра

        [pic 32].

Для ортонормированных функций непрерывного спектра

        [pic 33],
где [pic 34]-функция:

        [pic 35]

[pic 36]-функция имеет свойства

        [pic 37]     

        [pic 38]

Задачи

1. Перемножьте операторы [pic 39] и [pic 40].

Произведение

        [pic 41].
Ответ: [pic 42].

2. Для операторов [pic 43] и [pic 44], удовлетворяющих соотношению [pic 45], найдите [pic 46].

К соотношению [pic 47] добавим и отнимем [pic 48]

        [pic 49],
т.к. [pic 50].

Ответ: [pic 51].

3. Для операторов [pic 52] и [pic 53], удовлетворяющих соотношению [pic 54], найдите [pic 55].

Используя результаты предыдущей задачи, докажем, что полученное при [pic 56] соотношение верно и для [pic 57]. Пусть

        [pic 58],
тогда

        [pic 59]

        [pic 60]

        [pic 61].
Это соотношение справедливо для любого [pic 62]. Разложим [pic 63] в ряд по [pic 64] 

        [pic 65],

        [pic 66]

        [pic 67].

Ответ: [pic 68].

4. Проверьте, является ли оператор возведения в квадрат линейным.

Условие линейности оператора

        [pic 69].

Возведем в квадрат линейную комбинацию функций

        [pic 70].

Оператор возведения в квадрат не является линейным.

5. Проверьте, является ли оператор [pic 71] линейным.

Условие линейности оператора