Лекции по "Физике"

Содержание дисциплины

Лекция 1.

Динамические системы. Основные понятия и свойства

Одномерные системы.

В лекции дается понятие автономной динамической системы. Даются понятия фазового пространства, фазовой траектории и изображающей точки. Рассматриваются свойства фазовых траекторий на примере доказательства теорем. Теорема о положении равновесия  динамической системы.

[pic 1]

[pic 2]

[pic 3]

Лекция 2.

Положение равновесия двумерных линейных систем.

Устойчивость положения равновесия

В лекции рассматривается двумерная динамическая система

[pic 4]

Построение характеристического уравнения. Исследование положения равновесия. Усточивость и неустойчивость. Узел, седло, фокус, центр.

Лекция 3.

Теорема Ляпунова. Устойчивость по первому приближению.

В лекции представлены доказательства теорем

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

Лекция 4.

Предельные циклы. Устойчивость и неустойчивость.

[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

Лекция 5.

Многомерные системы. Хаос.  

[pic 12]

Лекция 6.

Динамика численности популяции. Модель неограниченного роста,

логистическое уравнение,  модели взаимодействия двух видов.

В лекции приводятся модели, приводящие к одному дифференциальному уравнению. Понятие решения одного автономного дифференциального уравнения. Стационарное состояние (состояние равновесия). Устойчивость состояния равновесия. Методы оценки устойчивости. Решение линейного дифференциального уравнения Примеры: экспоненциальный рост, логистический рост. Непрерывные модели: экспоненциальный рост, логистический рост, модели с наименьшей критической численностью. Модели с неперекрывающимися поколениями. Дискретное логистическое уравнение. Диаграмма и лестница Ламерея. Типы решений при разных значениях параметра: монотонные и затухающие решения, циклы, квазистохастическое поведение, вспышки численности. Матричные модели популяций. Влияние запаздывания. Гипотезы Вольтерра. Аналогии с химической кинетикой. Вольтерровские модели взаимодействий. Классификация типов взаимодействий Конкуренция. Хищник-жертва. Обобщенные модели взаимодействия видов. Модель Колмогорова. Модель взаимодействия двух видов насекомых Макартура. Параметрический и фазовые портреты системы Базыкина.

Лекция 7.

Стохастические модели роста популяций.

Вывод нормального распределения плотности вероятности.

Размер популяции 𝑁 теперь считается дискретной случайной величины.

Определим, зависящих от времени функцию вероятности 𝑝𝑁 (𝑡) из 𝑁 быть Вероятность того, что население имеет размер 𝑁 в момент 𝑡. Так 𝑁 должны взять на себяодно из значений от нуля до бесконечности, у нас есть для всех 𝑡 ≥ 0. Пусть снова 𝑏 быть среднедушевой рождаемости населения. Мы упрощающие приближения, все роды являются фуфайки, и что вероятность

индивидуального рождения, отдающим не зависит от предыстории родов. мы можем затем интерпретировать 𝑏 вероятностно, предположив, что, как Δ𝑡 → 0, вероятность что человек рождается во время Δ𝑡 дается 𝑏Δ𝑡. Например,

если среднедушевой рождаемости является одним потомство каждый 365-й день года, то Вероятность того, что данный индивид рождает в данный день является 1/365. Как мы будет рассматривать предел при Δ𝑡 → 0, мы пренебрегаем вероятности более один рождаемости в популяции в промежуток времени Δ𝑡, так как они имеют порядок (Δ𝑡) 2 или выше. Кроме того, будем считать, что в 𝑡 = 0, размер популяции Известно, что 𝑁0, так что 𝑝𝑁0 (0) = 1, со всеми другими -х в 𝑡 = 0, равным нулю. Мы можем определить систему дифференциальных уравнений для массы вероятности функционировать 𝑝𝑁 (𝑡) следующим образом. Для населения, чтобы иметь размер 𝑁> 0 в момент времени 𝑡 + Δ𝑡, либо он был размера 𝑁 - 1 в момент времени 𝑡 и произошло одно рождение, или это было от размера 𝑁 в момент времени 𝑡 и не было никаких рождений; то есть 𝑝𝑁 (𝑡 + Δ𝑡) = 𝑝𝑁-1 (𝑡) 𝑏 (𝑁 - 1) Δ𝑡 + 𝑝𝑁 (𝑡) (1 - 𝑏𝑁Δ𝑡).