Факторный анализ

4. Факторный анализ

4.1. Методические указания

Факторный анализ (ФА) представляет собой совокупность методов, которые на основе реально существующих связей анализируемых признаков (или связей самих наблюдаемых объектов) позволяют выявлять патентные обобщающие характеристики организационной структуры и механизма развития изучаемых явлений, процессов.

Главными целями факторного анализа являются: сокращение числа переменных (редукция данных) и определение структуры взаимосвязей между переменными, т.е. классификация переменных. Поэтому факторный анализ используется или как метод сокращения данных или как метод классификации. Ниже описываются принципы факторного анализа и способы его применения для достижения этих двух целей.

В аналитической практике методы факторного анализа применяются, главным образом, с целью сжатия информации, получения небольшого числа обобщающих переменных, объясняющих суммарную дисперсию элементарных признаков (так называемая «R – техника» факторного анализа), или различие  наблюдаемых объектов («Q – техника» факторного анализа).

Алгоритмы факторного анализа основываются на использовании редуцированной матрицы парных корреляций (ковариаций). Редуцированная матрица это такая матрица, на главной диагонали которой расположены не единицы (в корреляционной матрице – это оценки полной корреляции), или не оценки полной дисперсии, а несколько уменьшенные (редуцированные) их величины. При этом предполагаем, что в результате факторного анализа будет объяснена не вся дисперсия изучаемых признаков (объектов), а только её часть, обычно большая часть.

Оставшаяся необъяснённая часть дисперсии, возникающая из-за специфичности наблюдаемых объектов, или ошибок, допускаемых при регистрации явлений, процессов (ненадежности вводных данных).

Несколько особняком от метода факторного анализа стоит метод главных компонент (МГК). Строго говоря, этот метод не относят к ФА, хотя он имеет схожий алгоритм и решает схожие аналитические задачи. Его главное отличие заключается в том, что обработке подлежит не редуцированная, а обычная матрица парных корреляций, ковариаций, на главной диагонали которой, расположены единицы (или оценки полной дисперсии в матрице ковариаций). Другими словами, здесь предполагается объяснение всей дисперсии анализируемых признаков (необходимых объектов), а явление «характерности» во внимание не принимается.

В целом классификация методов ФА позволяет выделить следующие группы:

1. Метод главных компонент  (Г. Хотеллинг);
2. Упрощенные методы ФА, обычно – это методы, которые появились раньше, в первой половине двадцатого столетия, во время появления и формирования базисных теоретических разработок ФА. Эти методы отличаются, с одной стороны, сравнительно простыми вычислительными процедурами, а с другой стороны, ограниченными возможностями в выделении латентных факторов и аппроксимации факторных решений. В числе методов данной группы:

• однофакторная модель Ч. Спирмена, позволяет выделять только один латентный фактор;
• бифакторная модель Г. Хользингера, ориентирована на выделение двух латентных факторов;
• центральный метод Л. Тэрстоуна, здесь множество корреляций между переменными рассматривается как пучок векторов, латентный фактор в этом пучке появляется как некий уравновешивающий вектор, проходящий через его центр.

1. Современные аппроксимирующие методы ФА – методы, имеющие, по сравнению с предыдущей группой, более гибкую модель выделения латентных факторов (искусственно не ограничивающую их число), а также позволяющую оптимизировать полученные решения. В этой группе наиболее представительными являются:

- метод главных факторов Г.Томсона, используется на практике особенно часто, наиболее близок методу главных компонентов;

- групповой метод Л. Гуттмана и П. Хорста, основывается на исследовании не простого набора данных, а на предварительно отобранных каким-либо образом группах анализируемых признаков (наблюдаемых объектов).

        4. Методы с повышенными аппроксимирующими свойствами – современные методы, позволяющие получать и последовательно улучшать аналитические результаты. Эти методы отличаются сложностью алгоритмов и высокой трудоемкостью вычислительных процедур, практически нереализуемы без технических средств. В этой группе выделим методы