Понятие, его объем и содержание

13- лекция. Понятие, его объем и содержание

План лекции:

1. Математические понятия 
2. Реальные и абстрактные понятия.
3. Объем и содержание понятий.
4. Определяемые и неопределяемые понятия
5. Способы определения понятий.
6. Требования к определению математических понятий

Основные понятия: понятия, абстрактные понятия, объем и содержание понятий, существенные свойства, достаточные признаки, определение понятий

1. Математические понятия

Математика, как и другие науки, изучает окружающий нас мир, природные и общественные явления, но изучает лишь их особые стороны. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие их свойства: цвет, массу, твердость и т.д. От всего этого отвлекаются, абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят: «Геометрическая фигура». Отрезок, луч, прямая, угол, окружность, квадрат — геометрические фигуры. Результатом абстрагирования являются и такие важнейшие математические понятия, как «число» и «величина».

Вообще любые математические объекты — это результат выделения из предметов и явлений окружающего мира количественных и пространственных свойств и отношений и абстрагирования их от всех других свойств. Следовательно, математические объекты реально не существуют, нет в окружающем нас мире геометрических фигур, чисел. Все они созданы человеческим умом в процессе исторического развития общества и существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык.

Изучая пространственные формы и количественные отношения материального мира, математика не только пользуется различными приемами абстрагирования, но и само абстрагирование выступает как многоступенчатый процесс. В математике рассматривают не только понятия, появившиеся при изучении реальных предметов, но и свойства понятий, возникших на основе первых. Например, понятие переменной является абстракцией конкретных переменных величин, т. е. абстракцией от абстракции.

В своем развитии математика прошла несколько этапов, создавая на каждом из них определенные способы познания и осмысления разнообразных форм и количественных отношений материального мира. В частности, был создан широко распространенный в настоящее время такой метод изучения действительности, как метод построения математических моделей.

Он заключается в приближенном описании с помощью математической символики какой-либо совокупности явлений внешнего мира. Изучая модели, математика изучает тем самым и саму реальную действительность. Так, знание свойств функции y = kxпозволяет описывать особенности зависимостей между различными величинами: временем и расстоянием прямолинейного равномерного движения, количеством и стоимостью товара.

2. Реальные и абстрактные понятия.

Вообще абстрактность математики позволяет применять ее в самых разных областях знания, поскольку она представляет собой могущественный инструмент познания природы и создания техники.

Всякий математический объект (понятие) обладает определенными свойствами (качествами, признаками, особенностями). Например, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла, равные диагонали.Можно указать и другие свойства квадрата.

Среди свойств объекта различают свойства существенные и несущественные для его выделения из других объектов. Существенные свойства- свойства, которые являются его признаками, выделяющими его из множества других объектов, и без которых он не может существовать.