Математические методы теории сетей связи и передачи данных

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

ИНСТИТУТ НЕПРЕРЫВНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Контрольная работа за _ 8 _ семестр

По дисциплине

_ Математические методы теории сетей связи и передачи данных _

Фамилия: _____ Костин ___

Имя: _______ Глеб ____

Отчество: _____ Тимофеевич

Курс: _______4________

Студ. билет №: _____456858_____

Группа №: _____РБ-81_____

Санкт-Петербург

2021

1. Основные алгебраические системы, используемые в теории кодирования.

1.1. Показать, что множество всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля) является группой по операциям:

a) обычного сложения , [pic 1]

б) обычного умножения . [pic 2]

В группе  по операции сложения выделить подгруппу, состоящую из чисел: [pic 3]

а) кратных 3,

б) кратных 4,

в) кратных 5.

Построить смежные классы для каждой из этих подгрупп.

Решение:

Для того, чтобы выяснить является ли данное множество с определенной на нем бинарной операцией группой, следует проверить, выполняются ли сформулированные аксиомы:

а) множество всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля) по операции обычного сложения : [pic 4]

- бинарная операция: сложение;

- множество замкнуто:

Если  и  принадлежат , где  – элементы группы, то и , полученное на основе введенной операции  также принадлежит этому же множеству элементов ; [pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

- выполняется сочетательный (ассоциативный) закон:

Сложение чисел ассоциативно ; [pic 12]

- наличие единичного элемента : [pic 13]

Среди элементов множества  имеется такой элемент , для которого справедливо , где  – произвольный элемент . В случае операции сложения над числами равенство  возможно лишь в случае  и получим, . Нуль является единицей группы; [pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

- существование обратных элементов:

Для каждого элемента группы  множества  существует обратный элемент . При операции сложения обратный элемент определяется уравнением  и равен . [pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

Проверка показывает, что множество всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля) по операции обычного сложения  является аддитивной группой и содержит бесконечно много элементов, то есть бесконечная аддитивная группа. [pic 27]

б) множество всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля) по операции обычного умножения : [pic 28]

- бинарная операция: умножение;

- множество замкнуто:

Если  и  принадлежат , где  – элементы группы, то и , полученное на основе введенной операции  также принадлежит этому же множеству элементов ; [pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]

- выполняется сочетательный (ассоциативный) закон:

Умножение чисел ассоциативно ; [pic 36]

- наличие единичного элемента : [pic 37]

Среди элементов множества  имеется такой элемент , для которого справедливо , где  – произвольный элемент . В случае операции умножения над числами равенство  возможно лишь в случае  и получим, . Единица является единицей группы; [pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45]

- существование обратных элементов:

Для каждого элемента группы  множества  существует обратный элемент . При операции умножения обратный элемент определяется уравнением  и равен ; [pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50]

Следовательно, проверка показывает, что множество всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля) по операции обычного умножения  не является группой. [pic 51]

В группе  по операции сложения выделим подгруппы, состоящие из чисел: [pic 52]

а) кратных 3,

где,