Лабораторная работа по "Методам обработки полученных результатов"

Задача 1. Построение модели интерполирующей функции. Формулы Лагранжа.

На основании опытных данных требуется:

найти приближенное значение функции f(x) в точке x=1.4 по таблице значений, используя интерполяционную формулу Лагранжа;

выбрав произвольные два узла составить линейный полином Лагранжа;

выбрав произвольные три узла составить квадратичный полином Лагранжа. Построить рисунок получившейся кривой.

x_i 1,2 1,3 1,5 1,8 2,1

y_i 1,351 1,354 1,357 1,357 1,351

Решение.

Составим таблицу для вычисления промежуточных значений для заданных узлов при x=1,4.

1,2 1,3 1,5 1,8 2,1 yi Pi Pi/yi

1,2 0,2 -0,1 -0,3 -0,6 -0,9 1,351 0,00324 416,9753086

1,3 0,1 0,1 -0,2 -0,5 -0,8 1,354 -0,0008 -1692,5

1,5 0,3 0,2 -0,1 -0,3 -0,6 1,357 -0,00108 -1256,481481

1,8 0,6 0,5 0,3 -0,4 -0,3 1,357 0,0108 125,6481481

2,1 0,9 0,8 0,6 0,3 -0,7 1,351 -0,09072 -14,89197531

-2421,25

Произведение элементов по диагонали равно

∏_5▒〖(x_i )=0,2∙0,1(-0,1)∙(-0,4)∙(-0,7)=-0,00056〗

Значение интерполяционного полинома Лагранжа в точке x=1,8 равно 〖 L〗_4 (1,4)=(-0,00056)∙(-1379.418)=1,3559

Для построения линейного полинома выберем две точки (1,2; 1,351) и (1,8; 1,357), тогда согласно формуле 1.3 получим:

L_1 (x)=1,2+(1,357-1,2)/(1,8-1,2) (x-1,2)⟺

L_1 (x)=0,262x+ 0,886

Для построения квадратичного полинома выберем три точки (1,2;1,351), (1,5;1,357) и (1,8;1,357), тогда согласно формуле 1.4 получим:

L_2 (x)=1,351∙(x-1,5)(x-1,8)/((1,2-x_2)(1,2-1,8))+1,357∙(x-1,2)(x-1,8)/((1,5-1,2)(1,5-1,8))+

+1,357∙((x-1,2)(x-1,5))/((1,8-1,2)(1,8-1,5))∙⟺

L_2 (x)=-0,02x^2+0,062x+1,312

Построим график получившейся