Контрольная работа по "Математическому анализу"

Задание №1

Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием:

а) [pic 1][pic 2]

Решение: Применим формулу интегрирования по частям:

[pic 3][pic 4] 

Пусть: [pic 5][pic 6], тогда [pic 7][pic 8]

Получаем: [pic 9][pic 10] 

Проверка:

[pic 11][pic 12] 

Ответ: [pic 13][pic 14]

б) [pic 15][pic 16]

Решение: Подведем под знак дифференциала [pic 17][pic 18], то есть [pic 19][pic 20], исходный интеграл запишем в виде:

[pic 21][pic 22]

[pic 23][pic 24]

Проверка: [pic 25][pic 26] 

Ответ: [pic 27][pic 28]

в) [pic 29][pic 30]

Решение: Сделаем замену: [pic 31][pic 32]

Получаем: [pic 33][pic 34]

Делаем обратную замену, получаем: [pic 35][pic 36]

Проверка: [pic 37][pic 38] 

Ответ: [pic 39][pic 40]

г) [pic 41][pic 42]

Решение: Разложим подынтегральное выражение на простейшие слагаемые методом разложения на простейшие:

[pic 43][pic 44]

Приравниваем числители и учтем, что коэффициенты при одинаковых степенях x, стоящие слева и справа должны совпадать:

[pic 45][pic 46] 

[pic 47][pic 48] 

[pic 49][pic 50] 

Получаем: [pic 51][pic 52].

[pic 53][pic 54] 

[pic 55][pic 56] 

Проверка:[pic 57][pic 58] 

Ответ: [pic 59][pic 60]

Задание №2

Вычислить интегралы

а) [pic 61][pic 62]

Решение: [pic 63][pic 64] – табличный интеграл.

Ответ: [pic 65][pic 66]

б) [pic 67][pic 68]

Решение: Сделаем замену переменных: [pic 69][pic 70]

Получаем: [pic 71][pic 72], [pic 73][pic 74]

[pic 75][pic 76] 

Подставляя вместо [pic 77][pic 78], получаем:

[pic 79][pic 80] 

Ответ: 0,203.

в) [pic 81][pic 82]

Решение:

[pic 83][pic 84]

Ответ: 36,8

Задание №3

Исследовать на сходимость ряды:

а) [pic 85][pic 86]

Решение: Проверим выполнение необходимого условия сходимости ряда: [pic 87][pic 88]

[pic 89][pic 90] 

Проверим выполнение достаточного условия сходимости ряда:

[pic 91][pic 92] при [pic 93][pic 94] – ряд сходится, при [pic 95][pic 96] – ряд расходится

[pic 97][pic 98] следовательно, ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

б) [pic 99][pic 100]

Решение:

Используем признак Лейбница:

1) Рассмотрим первые три члена ряда: [pic 101][pic 102]

2) Проверим выполнение условия: [pic 103][pic 104]

[pic 105][pic 106] 

Следовательно, знакочередующийся ряд [pic 107][pic 108] сходится.

Ответ: ряд сходится.

Задание №4

Найти область сходимости ряда [pic 109][pic 110]. Сходится ли ряд при [pic 111][pic 112]?

Решение: Степенной ряд в общем виде записывается следующим образом: [pic 113][pic 114], где [pic 115][pic 116] – формула числовых коэффициентов.

Для данного ряда: [pic 117][pic 118]

Областью сходимости степенного ряда является интервал [pic 119][pic 120], где: [pic 121][pic 122], [pic 123][pic 124] – радиус сходимости.