Контрольная работа по "Математическому анализу"
Автор: Анастасия Волкова • Май 31, 2021 • Контрольная работа • 4,673 Слов (19 Страниц) • 240 Просмотры
[pic 1]
Вариант 1
Задание 1. Найти общее решение уравнения:
а) y′sin x − y ln y cos x = 0, | б) (xy2 − y2 )dx − (x2 y + x2 )dy = 0, |
в) (xy + y2 ) dx − (2x2 + xy)dy = 0, | г) y′ − y ctg x = 1 . sin x |
Решение. а) Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменны-[pic 2]
ми. Учитывая, что
y′ = dy , перепишем данное уравнение в следующем виде
dx[pic 3]
Разделяя переменные, получим
dy sin x = y ln y cos x .
dx[pic 4]
Интегрируя обе части равенства:
dy y ln y
= cos x dx .
sin x[pic 5][pic 6]
dy = ln | ln y | +C,[pic 7]
y ln y
cos x dx = ctg xdx =ln | sin x | +C ,
sin x[pic 8]
получим (заметим, что константа интегрирования будет присутствовать только один раз и будет взята в виде lnC):
ln | ln y |= ln | sin x | + ln C ⇒ ln y = C sin x .
Это есть общий интеграл данного дифференциального уравнения.
б) Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим:
(x −1) y2dx − x2 ( y +1)dy = 0 ⇒ x −1 dx − y +1 dy = 0 .[pic 9][pic 10]
x2 y2
Интегрируя обе части равенства:
x −1 dx =
[pic 11]
⎛ 1 − 1 ⎞ dx = ln x + 1 + C,
[pic 12] [pic 13] [pic 14]
y +1 dy =
[pic 15]
⎛ 1 + 1 ⎞ dy = ln y − 1 + C.
[pic 16][pic 17][pic 18]
∫ x2
∫⎜ x x2 ⎟
x ∫ y2
∫⎜ y y2 ⎟ y
⎝ ⎠ ⎝ ⎠[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]
находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения:
ln x + 1 + ln[pic 23][pic 24][pic 25]
x
y − 1 = C .
y[pic 26][pic 27][pic 28]
Отметим, что при делении мы могли потерять какое-либо решение. Действительно, как показывает проверка, решения x=0 и y=0 также являются решениями исходного уравне- ния. Поскольку ни при одном значении C 'эти решения нельзя получить из общего интеграла, то эти решения называются особыми.
...