Контрольная работа по "Математический анализ"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВЛАДИВОСТОКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА

ИНСТИТУТ ЗАОЧНОГО И ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МОДЕЛИРОВАНИЯ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Математический анализ»

Содержание

Задание № 1 …………………………………..…………...………………………….………….… 3

Задание № 2 ………………………………………..……………………..….……………….….…4

Задание № 3 ……………………………………………………………………………..….……… 6

Задание № 4 …………………………………………………………………...……..…………… 11

Задание № 5 …………………………………………………………………...…..……………… 13

Задание № 6 …………………………………………………………………...…..……………… 15

Задание № 7 …………………………………………………………………..…………...……… 16

Список использованных источников ………………………………………………….……...... 18

Вариант №5

Задание 1. Вычислить указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:

а)[pic 1];

б)[pic 2];

в)[pic 3];

г)[pic 4][pic 5];

д) [pic 6].

Решение

а)[pic 7][pic 8];

б)[pic 9];

в)[pic 10]

[pic 11];

г) [pic 12];[pic 13]

д) [pic 14].

Ответ: а) 0; б)2; в) ∞; г) 6; д) -3

Задание 2. Вычислить производные функций а), б), в), г):

а)[pic 15];[pic 16]

б) [pic 17];

в)[pic 18];

г)[pic 19].

Решение

а)[pic 20]

[pic 21]

б) [pic 22]

[pic 23]

в)[pic 24]

Применим логарифмическое дифференцирование [ЗАП, c. 71].

Прологарифмируем обе части уравнения.

[pic 25]

[pic 26]

Получим равенство, которое решаем относительно производной:

[pic 27]

Умножим обе части выражения на функцию y:

[pic 28]

г)[pic 29]

Выполним дифференцирование неявной функции [ЗАП, с. 75].

[pic 30]

Приравниваем выражение нулю, получим равенство, которое решаем относительно производной:

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

Получим результат:

[pic 34]

Задание 3. Провести исследование функций и построить их графики а), б).

а)[pic 35][pic 36];

б)[pic 37][pic 38].

Решение

а)[pic 39]

Используем общую схему исследования функции для построения графика [ЗАП, с. 138].

1) Область определения
D(y) ∈R\{1}, то есть функция определена на всей числовой прямой, кроме точкиx = 1.

2) Точки пересечения графика с осями координат

Ox:y = 0;[pic 40][pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

Ось Oxне пересекается.

Oy: x = 0;[pic 44]

Ось Oy пересекается в точке (0, -1).

3) Периодичность, четность

Функция непериодическая, ни парная, ни непарная.

4)Точки разрыва, односторонние пределы и пределы на бесконечности

В точкеx = 1 – разрыв. Найдем односторонние пределы.

[pic 45]

Найдем пределы на бесконечности

[pic 46]
Горизонтальных асимптот нет.Вертикальная асимптота: x = 1.

5) Наклонные асимптоты:y=kx+b

[pic 47]

[pic 48]

Наклонная асимптота: y = x.

6) Экстремумы функции

Найдем стационарные точки, то есть точки, в которых производная превращается в 0, для чего решим уравнение[pic 49]Найдем производную функции:
[pic 50]

[pic 51]

x1 = 2 (минимум, потому что производная изменяет знак с „–” на „+”)

x2 = 0 (максимум, потому что производная изменяет знак с „+” на „–”)