Коники, лежащие в трек точках и дважды касающиеся данной коники

Коники, лежащие в трек точках и дважды касающиеся данной коники

        Существует вторая группа проблем, которые могут быть решены с помощью пространственной интерпретации. Однако могут существовать конфигурации точек,

[pic 1]

Фигура 4.38. Параболический цилиндр Δ служит вспомогательной поверхностью, когда нам нужно найти все параболы в трех точках A, B, C и заданной касательной t.

которые могут не привести к единому решению. Мы имеем дело только с теми случаями, которые показывают (реальные) решения и начните с окружности c и трех точек A, B, C внутри c (рис. 4.39, справа). Мы ищем все коники, которые проходят через заданные три точки и дважды касаются c. Следовательно, мы интерпретируем c как контур сферы Σ (действительно, любая правильная квадрика вращения с таким же контуром также была бы возможным выбором при условии, что ее точки отображаются на внутреннюю часть c). Точки A, B и C являются ортогональными проекциями точек P, Q, R на Σ. (Опять же, есть два возможных варианта P в качестве предварительных изображений A и аналогичные для Q и R.) Плоскость ε, охватываемая P, Q и R, пересекается с Σ в окружности k1, ортогональная проекция которой дает одно решение l1 (см. рис. 4.39, слева). Обратите внимание, что решение l1 касается c дважды, в то время как предварительное изображение k1 пересекается с c поперечно.

Опять же, ситуация в трехмерном пространстве показывает восемь коник, которые соответствуют только четырем решениям. Это связано с симметрией вспомогательной поверхности Σ относительно несущей плоскости c. Красное решение l4, показанное на рисунке 4.39 (справа), не является неправильным решением. Двойной контакт происходит в паре комплексно сопряженных точек, соединенных вещественной линией.

На рисунке 4.40 показано, что гиперболоид вращения с одним листом может служить вспомогательной поверхностью, если три заданные точки являются внешними точками c. Опять же, одно решение кажется неправильным. Однако, как и на рис. 4.39, кажущееся неправильным решение находится в двойном контакте с c в паре комплексно сопряженных точек.

● Упражнение 4.4.5 Что делать, если c не является окружностью? Техника пространственной интерпретации не ограничивается случаем круга. Если c оказывается эллипсом, вспомогательная поверхность может больше не быть поверхностью вращения. Однако в таких случаях полезно интерпретировать c как контур эллипсоида (который все еще может быть контуром вращения) или как контур гиперболоида с одним листом (который в данном случае не может быть контуром вращения). Эллипсоид должен быть выбран, если заданные точки A, B и C являются внутренними точками c. В случае внешних точек мы должны использовать гиперболоид с одним листом.

[pic 2]

Фигура 4.39. Слева: Восемь кругов на сфере, которые соответствуют четырем эллипсам, дважды соприкасающимся с контурным кругом. Справа: Четыре эллипса l1, l2, l3, l4 находятся в двойном контакте с окружностью c и проходят через три точки A, B, C. Эти эллипсы получены из восьми эллипсов слева с помощью ортогональной проекции.

● Упражнение 4.4.6 Что делать, если c - парабола? Если существует парабола c, к которой дважды прикасаются коники в трех точках A, B и C, снова следует различать два случая: если данные точки A, B и C являются внутренними точками, мы интерпретируем c как контур эллиптического параболоида (который может быть, для простоты, параболоид вращения). В случае трех внешних точек мы рассматриваем c как контур гиперболического параболоида (который может быть ортогональным). Последний случай проиллюстрирован на рисунке 4.41. На рисунке 4.42 показаны четыре коники l1, l2, l3 и l4 на A, B, C, которые касаются параболы c. Ни одна из четырех коник не может быть эллипсом. Каждое решение является ортогональной проекцией плоского пересечения гиперболического параболоида, который несет только параболы и гиперболы.