Анализ функции полезности и кривых безразличия

Задание 1. (Анализ функции полезности и кривых безразличия)

Цель работы – ознакомление с понятием функции полезности, кривой безразличия и их исследование с использованием методов аналитической геометрии и дифференциального исчисления.

Условие задачи.

Потребитель имеет функцию полезности:  и может на свой доход равный 100 единицам приобретать только эти два товара по ценам:  и . [pic 1][pic 2][pic 3]

Поставлены задачи (ОПК-2, У2):

1) Построить несколько кривых безразличия (линий уровня) для заданной функции полезности.

2) Определить уравнение средней и предельной полезности по каждому благу.

3) Записать математическую модель задачи оптимального выбора потребителя. Определить оптимальный набор, методом исключения сведя задачу на условный экстремум к задаче на безусловный экстремум. Определить максимальный уровень полезности.

4) Используя понятие дифференциала, записать приближенную формулу для нахождения изменения полезности при уменьшении блага  на 1 единицу и увеличении блага  на 1 единицу.[pic 4][pic 5]

ХОД РАБОТЫ:

Для построения линий уровня зададим значения полезностей набора благ

[pic 6]

[pic 7]

Уравнение средней и предельной полезности по каждому благу:

Благо X:

Средняя полезность: [pic 8]

Предельная полезность: [pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

Благо Y:

Средняя полезность: [pic 12]

Предельная полезность: [pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

Приближенная формула для нахождения изменения полезности при уменьшении блага  на 1 единицу и увеличении блага  на 1 единицу.[pic 16][pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

Задача оптимального выбора потребителя

[pic 20]

Подставим значения:
[pic 21]

Решим данную задачу методом Лагранжа:

[pic 22]

[pic 23]

Подставим в исходную функцию:

[pic 24]

Задание 2. (Анализ производственных функций)

Цель работы – ознакомление с понятием кривой безразличия, производственной функции и ее исследование с использованием методов дифференциального исчисления.

Условие задачи.

Предприниматель решил выделить на расширение своего дела 150 тыс. руб. Известно, что если затратить на новое оборудование  тыс. руб., а на зарплату вновь приобретённых работников  тыс.руб., то прирост объёма продукции составит . [pic 25][pic 26][pic 27]

Поставлены задачи (ОПК-2, У2):

5) Найти предельные показатели по каждому ресурсу

6) Найти коэффициент эластичности по труду

7) используя метод Лагранжа, распределить выделенные денежные ресурсы так, чтобы прирост объёма продукции был максимальным.

ХОД РАБОТЫ

Коэффициент эластичности по труду: [pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

Предельные показатели по каждому ресурсу

1. Предельная производительность труда

[pic 31]

1. Показатель предельной фондоотдачи

[pic 32]

Задача методом Лагранжа:

[pic 33]

Условие для ограничения: [pic 34]

Полученная модель

[pic 35]

[pic 36]

Составим функцию Лагранжа:

[pic 37]

Найдем частные производные и приравняем к нулю:

[pic 38]

Тогда

[pic 39]

Задание 3. (Анализ модели спроса и предложения)

Цель работы – ознакомление с понятием понятиями спроса и предложения и проведение математического анализа модели спроса и предложения с использованием интегрального исчисления.

Условие задачи (ОПК-2, У2):

Пусть спрос и предложение на товар определяются соответственно соотношениями , . [pic 40][pic 41]

Поставлены задачи:

8) построить кривые спроса и предложения, указав на рисунке выигрыш поставщиков и потребителей,