Айналу бетінің ауданы

§11. АЙНАЛУ БЕТІНІҢ АУДАНЫ  

        [pic 1] аралығында орналасқан және [pic 2] теңдеуімен берілген қисықтың айналуынан пайда болған беттің ауданын абайық (1-сурет). [pic 3] аралығын [pic 4] нүктелерімен [pic 5] бөлікке бөлеміз. Сонда АВ доғасы  [pic 6] бөлікке бөлінеді және оларды хордалар арқылы қосып, сәйкес ұзындықтарын [pic 7] деп белгілейік.

        Әрбір хорда осы Ох өсі арқылы айналғанда ауданы сәйкес [pic 8] болатын қиық конустың бетін береді:

[pic 9] мұндағы [pic 10].

Сондықтан [pic 11] ал барлық айналу бетінің ауданы [pic 12] болады. Егер [pic 13] және [pic 14] аралығындағы [pic 15] функциялары үздіксіз болса, онда

[pic 16]

шегі бар болады да, ол анықталған интегралға тең, яғни

[pic 17] немесе[pic 18].      (1)

Сонымен айналу бетінің ауданы (1) формуласы арқылы табылады.

    Егер қисық [pic 19] аралығында [pic 20]теңдеумен беріліп [pic 21]

өсін айналса, онда айналу бетінің ауданы төмендегі өрнектен

[pic 22]  немесе [pic 23] (2)

табылады.

     Енді қисық [pic 24] параметрлік теңдеулермен берілсін, мұнда [pic 25] және [pic 26] аралығында анықталған және осы аралықта үздіксіз туындылары бар функциялар. Осы қисықтың [pic 27] осінен айналуынан шыққан беттің ауданы болады:

[pic 28] (3)

     Егер қисық  [pic 29] осінен айналатын болса, онда айналу беттің ауданы келесі

[pic 30]          (4)

 формуласымен анықталады.

     Егер қисық полярлық координаталарда [pic 31] түрінде берілсе, оны [pic 32] формулаларының жәрдемімен параметрлік түрге оңай келтіруге болады. Сонда (3) формула мына түрге келеді:

[pic 33].                 (5)

1-мысал. [pic 34] синусоиданың [pic 35]-ден [pic 36]-ге дейінгі аралықтағы доғасының [pic 37] осінен айналғандағы айналу бетінің ауданын табу керек.

Шешу: [pic 38] тапсақ, онда [pic 39]. Айнымалыны алмастыру жасасақ: [pic 40], [pic 41]. Енді [pic 42] бойынша интегралдау шегін табамыз: егер [pic 43] болса, онда [pic 44]; егер [pic 45] болса, онда [pic 46]. Сонымен, [pic 47] [pic 48].

2-мысал. Абсциссалары [pic 49] және [pic 50] нүктелер аралығындағы [pic 51] шар доғасының [pic 52] осінен айналғандағы пайда болған дененің айналу бетінің ауданын табу керек.

Шешу: (1) формуласына сәйкес [pic 53] болғандағы интеграл таңбасы астындағы өрнекті құрайық:

[pic 54], нәтижеде [pic 55].

3-мысал. [pic 56] қисығының [pic 57] осінің жоғарғы жағында жатқан бөлігінің [pic 58] осінен айналуынан пайда болған беттің ауданын табу керек.

Шешу: Бұл есепте ізделініп отырған ауданды табу үшін (2) формуласын пайдаланамыз. Қарастырып отырған жағдайда интегралдау шектері [pic 59] мен [pic 60] қисығының [pic 61] өсімен қиылысу нүктесінің ординатасы болады. Соңғы ордината теңдеудегі [pic 62] деп алғанда бірден табылады, яғни: [pic 63]. Қисықтың теңдеуінен оның оң тармағының теңдеуі [pic 64]-ті табамыз, ал онан [pic 65] және [pic 66]. Енді (2) формуласын қолдансақ, [pic 67] [pic 68] болып шығады.