Передача по каналам связи

Лабораторная работа №3

Передача по каналам связи (Вариант 𝒏)

I. Задан стационарный канал связи без памяти такой, что входной алфавит состоит из 0 и 1, символ передаётся правильно с вероятностью  , и с вероятностью  переданный символ не распознаётся. [pic 1][pic 2]

a. Постройте матрицу данного канала связи. Докажите, что канал связи симметрический по входу, но не по выходу. Дайте оценку его пропускной способности.

б. Пусть на вход канала связи подается случайный вектор 𝑋, принимающий значение 0 с вероятностью 5/(𝑛 + 5), а в оставшихся случаях принимающий значение 1. Найдите выходное распределение 𝑌 и среднюю взаимную информацию 𝑰(𝑋; 𝑌). Достигается ли на этом распределении максимум величины 𝑰(𝑋; 𝑌).

в. Пусть на вход канала связи подается случайный вектор 𝑋2 принимающий значение 00 с вероятностью  , 01 – , 10 –  и 11 – . Найдите выходное распределение 𝑌2 и среднюю взаимную информацию 𝐼(𝑋2; 𝑌2). [pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

г. Вычислите (численно или аналитически) пропускную способность вашего канала. Как связана оценка из пункта а и ответы пунктов б, в и г.

II. Для канала из I и входного вектора X (из задания б) постройте декодеры по методы максимального правдоподобия и методу апостериорной вероятности. Являются ли они эквивалентными? Для каждого из декодеров найдите вероятности ошибочного декодирования каждого из элементов и среднюю вероятность ошибочного декодирования.

Решение.

1. Задан стационарный канал связи без памяти такой, что входной алфавит состоит из 0 и 1, символ передаётся правильно с вероятностью  , и с вероятностью  переданный символ не распознаётся. В нашем случае вероятность распознавания будет равна  и с вероятностью   символ не распознается.[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

Построим матрицу данного канала связи.

[pic 11]

Матрица является стохастической справа, т.к. сумма элементов каждой строки = 1 и нет отрицательных элементов.

Канал является симметрическим по входу, потому что все строки матрицы являются перестановками одного и того же набора чисел , , . [pic 12][pic 13][pic 14]

Канал не является симметрическим по выходу, потому что столбцы матрицы не являются перестановками одного и того же набора чисел.

Если канал симметричен по входу, значит для пропускной способности будет выполняться неравенство:

[pic 15] 

[pic 16]

Пусть теперь на вход канала связи подается случайный вектор 𝑋, принимающий значение 0 с вероятностью , а в оставшихся случаях принимающий значение 1. Найдите выходное распределение 𝑌 и среднюю взаимную информацию 𝑰(𝑋; 𝑌). Достигается ли на этом распределении максимум величины 𝑰(𝑋; 𝑌).[pic 17]

[pic 18]

Тогда

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

Выходное распределение:

[pic 22]

Вычислим среднюю взаимную информацию

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

На этом распределении почти достигается максимум (г).

Пусть теперь на вход канала связи подается случайный вектор 𝑋 2 принимающий значение 00 с вероятностью  , 01 –   , 10 –   и 11 –   Найдите выходное распределение 𝑌2 и среднюю взаимную информацию 𝐼(𝑋2;𝑌2).[pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]