2-D мозаики

[pic 1]

Московский ордена Ленина, ордена Октябрьской революции

и ордена Трудового Красного Знамени

Государственный университет имени М.В. Ломоносова

Геологический факультет

Кафедра кристаллографии и кристаллохимии.

КУРСОВАЯ РАБОТА

2-D мозаика.

Выполнила

студентка 205 группы Родионова С.А.

Научный руководитель:

ассистент Еремина Т. А

Заведующий кафедрой

Член-корреспондент РАН, д.х.н.

Еремин Н.Н.

Москва 2022

Содержание

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………3.

Литературный обзор.

ГЛАВА I. Проблема разбиения пространства…………………………………7.

Важность для естественных наук……………………………………………….7.

Наиболее распространенное разбиение………………………………………...7.

Мозаики Кеплера………………………………………………………………....9.

Бесконечное замощение круга. Ангелы и демоны Эшера.……………………11.

ГЛАВА II. Заполнение плоскости многоугольниками различной сингонии.

Изоэдры…………………………………………………………………………..20.

17 плоских пространственных групп…………………………………………..20.

Практическая часть.

Создание мозаик гексагональных групп…….…………………………………24.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………….30.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………………………….31.

Введение

Замощение любого пространства без пропусков и наложений является важной задачей естествознания, особенно для такой науки, как кристаллография. На протяжении не одного столетия ученые решали проблему пространственного замощения в своих трудах, тем самым слагая фундамент кристаллографического мира. Люди начали изучать кристаллы минералов, их природу и причины их возникновения, а также их рост. Позднее они пришли к выводу о том, что кристаллические тела имеют не только упорядоченную текстуру, но и структуру, поддающуюся законам симметрии. Чтобы понять и описать внутреннюю структуру кристаллов, ученые пользовались математической теорией замощения.

В XV веке периодические замощения были изучены в Европе уже достаточно хорошо, и были известны следующие их свойства:

• Любым треугольником или четырехугольником можно замостить плоскость.
• Известно 15 типов пятиугольников, позволяющих замостить плоскость; неизвестно, является ли этот перечень полным.
• Известно 3 типа шестиугольников, позволяющих замостить плоскость
• Невозможно замостить плоскость одинаковыми выпуклыми многоугольниками с числом сторон, большим или равным семи.

В 1619 году Иоганн Кеплер написал трактат «Harmonices Mundi» («О гармониях мира»), где рассуждал о сочетаниях геометрических фигур. Именно в этой работе Кеплер, попробовав замостить плоскость многоугольниками пентагональной симметрии, получил первые апериодические замощения, то есть такие, чтобы узор нигде не повторялся. Для этого Кеплер попытался использовать пятиугольники (в том числе звездчатые), напоминающие как мусульманские узоры, так и мозаики Пенроуза. Некоторая периодичность в мозаике Кеплера все-таки существует (то есть, в ней можно найти повторяющиеся участки). [pic 2][pic 3]

Итак, построить полностью апериодический узор из конечного числа фигур на плоскости не удавалось на протяжении долгого времени, и в 1961 году китайский математик Хао Ван предположил, что апериодических замощений не существует. Тем не менее, уже в 1966 году его ученик Роберт Бергер смог доказать, что существует множество из 20 426 разных фигур, которое действительно покрывает неограниченно обширную плоскость апериодической мозаикой. Вскоре сам Бергер смог сократить это множество до 104 фигур, а в 1971 году к задаче подступился Рафаэль Робинсон, показавший, что апериодическую мозаику можно сложить всего из 8 плиток, близких по форме к квадрату (рис. 2).