Модели развития отдельных секторов и сфер национальной экономики

Часть II

«Модели развития отдельных секторов и сфер

национальной экономики»

1. Бюджетное множество. 

Исходные данные: P=(5,2,5), M=60.

Задание:

В пространстве трех товаров рассмотреть бюджетное множество при векторе цен (p1 ,p2, p3) и доходе М. Описать его границу с помощью обычных и векторных неравенств и равенств. Изобразить бюджетное множество и его границу графически. Каков объем бюджетного множества?

Pешение:

Бюджетное множество В – это множество всех наборов товаров [pic 1][pic 2], которое потребитель может купить на данное количество денег[pic 3] M=60.

Обычными неравенствами бюджетное множество описывается следующим образом: [pic 4];

векторными неравенствами: [pic 5] 

Граница бюджетного множества: [pic 6][pic 7],

векторные равенствами: [pic 8][pic 9].

В случае трех товаров бюджетное множество представляет собой трехгранную пирамиду, ограниченную координатными плоскостями и плоскостью [pic 10][pic 11] (рис. 1).

[pic 12]

Рис. 1. Бюджетное множество

Объем бюджетного множества находим по формуле объема пирамиды: [pic 13], [pic 14]

[pic 15]

2. Поведение потребителя

Задание. Для потребителя с функцией полезности U(х1,х2)=[pic 16] построить карту кривых безразличия, найти предельную норму замены благ и в общем виде оптимальную функцию спроса. Найти оптимальную точку спроса при ценах (3; 2) и доходе М=12. Дать графическую интерпретацию решения.

Решение:

Найдем функцию оптимального спроса, решив следующую оптимизационную задачу методом множителей Лагранжа:

[pic 17][pic 18]

[pic 19] 

[pic 20]

Построим карту кривых безразличия [pic 21]

Возьмем уровни U=5; U=8; U=112 будет иметь вид:

[pic 22]

Рис. 2. Карта кривых безразличия

Найдем оптимальную точку спроса при ценах Р=(3; 2) и доходе М=12:

[pic 23]

[pic 24].

[pic 25]

Рис. 3.Графическое решение задачи поведения потребителя

Найдем предельную норму замещения для точек А, В и С.

[pic 26]

Для точка A(2; 10/3)  🡪 [pic 27] = - 2=> [pic 28] -1,5[pic 29]

Для точка B(8/3; 2)  🡪 [pic 30] = -2,67=> [pic 31] -2,67[pic 32]

Для точка С (4; 2/3)  🡪 [pic 33] = - 0,67=> [pic 34] -0,67[pic 35]

[pic 36]

Рис. 4. Изменение нормы замены благ в зависимости от наклона кривой безразличия

3. Показатель эластичности функции спроса

Задание. Для функции спроса из задания 2 найти, на сколько процентов изменится спрос на первый товар при увеличении цены на второй товар на один процент при компенсации дохода (для этого воспользоваться уравнением Слуцкого, предварительно проверив его). Ответ дать в общем виде и для оптимальной точки спроса из  задания 2.  Дать графическую интерпретацию решения.

Решение:

Проверим уравнением Слуцкого

[pic 37].

[pic 38]

Рис. 5. Эффект замены и эффект дохода

На кривой безразличия (так как (U=const):   [pic 39][pic 40]

[pic 41]

т.е. [pic 42].

Тогда компенсация дохода

[pic 43] ([pic 44], так как р1= const)

Координаты точки А:

[pic 45]   

Координаты точки В:

[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

Следовательно, из уравнения Слуцкого получаем:

[pic 49]

С другой стороны:

[pic 50]

из чего следует, что уравнение Слуцкого выполняется.

Требуемый коэффициент эластичности:

[pic 51][pic 52]

Следовательно, если цена p[pic 53]увеличится на 1%, то спрос на товар х[pic 54]при компенсация дохода увеличится на 0,5%, при компенсации дохода.

4. Мультипликативная производственная функция