Контрольная работа по «Математическому анализу»
Автор: Максим • Март 18, 2022 • Контрольная работа • 2,067 Слов (9 Страниц) • 203 Просмотры
Контрольная работа
по дисциплине «Математический анализ»
Минск 2020
Оглавление
Задача 7.1. 3
Задача 7.2. 4
Задача 7.3. 5
Задача 7.4. 6
Задача 7.5. 7
Задача 7.7 8
Задача 7.12 9
Задача 7.13 11
Задача 8.1. 13
Задача 8.2. 14
Задача 8.3. 15
Задача 8.4. 16
Задача 8.5. 17
Задача 8.6. 18
Задача 8.7 19
Задача 8.9 21
Задача 8.10 22
Задача 8.11. 23
Задача 8.12. 24
Задача 8.13. 25
Задача 8.14. 26
Задача 8.15. 27
Задача 8.16. 30
Задача 8.17. 33
Задача 8.18. 34
Задача 7.1.
Сформулируйте определение предела или одностороннего предела функции по Коши на языке “[pic 1]”. Проиллюстрируйте определение схематическим рисунком.
14. [pic 2].
Решение.
Сформулируем при помощи определения предела функции по Коши:
[pic 3].
Проиллюстрируем определение схематическим рисунком.
[pic 4]
Задача 7.2.
Докажите предел функции. Найдите [pic 5]. Сделайте рисунок.
14. [pic 6].
Решение:
Область определения функции множество [pic 7].
Покажем, что:
[pic 8].
Проиллюстрируем схематическим рисунком.
[pic 9]
Рассмотрим равносильные неравенства:
[pic 10].
Можно положить [pic 11], тогда получаем, то, что требовалось доказать.
Задача 7.3.
Вычислите предел функции.
14. [pic 12].
Решение.
Непосредственная подстановка предельного значения аргумента x=-3 приводит к неопределенности [pic 13]. Чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель на множители.
Т.к. [pic 14], но не совпадает со своим предельным значением, то [pic 15]:
[pic 16].
Ответ: [pic 17].
Задача 7.4.
Вычислите предел функции.
14. [pic 18].
Решение.
В этом случае имеем неопределенность вида [pic 19]. Под знаком предела есть иррациональность. Чтобы раскрыть эту неопределенность, достаточно домножить на выражение.
[pic 20]Ответ: 0.
Задача 7.5.
Вычислите предел функции.
14. [pic 21].
Решение.
При [pic 22] числитель и знаменатель дроби равны 0, имеем неопределённость вида [pic 23]. При решении примера используем обобщенную форму первого замечательного предела [pic 24].
[pic 25]Ответ: [pic 26].
Задача 7.7
Вычислите предел функции.
14. [pic 27].
Решение.
В этом случае имеем неопределенность вида [pic 28].
Воспользуемся заменой на эквивалентную величину при [pic 29]: [pic 30], [pic 31] , тогда:
[pic 32]
При вычислении этого предела использована обобщенная формула второго замечательного предела [pic 33]и теорема о пределе показательно-степенной функции: [pic 34], где [pic 35]конечная или бесконечно удаленная точка.
Ответ: [pic 36].
Задача 7.12
Исследуйте функцию [pic 37] на непрерывность. Установите тип точек разрыва и изобразите график функции в окрестности точек разрыва.
...