Операторы, их собственные функции и собственные значения
Автор: HannaS • Апрель 29, 2020 • Методичка • 2,000 Слов (8 Страниц) • 334 Просмотры
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
Решение задач по теме 1:
«Операторы, их собственные функции и собственные значения»
Основные понятия, законы и формулы
Пусть задано действие, с помощью которого из одной функции [pic 1] получается другая функция [pic 2]
[pic 3],
тогда говорят, что задан оператор [pic 4].
Действия над операторами:
Сумма – оператор [pic 5], такой, что
[pic 6].
Произведение – оператор [pic 7], такой, что
[pic 8].
Единичный оператор [pic 9] – такой оператор, что для любой функции [pic 10] выполняется
[pic 11].
Обратный оператор [pic 12] по отношению к оператору [pic 13] определяется соотношением
[pic 14]
Оператор [pic 15] называется линейным, если он удовлетворяет соотношению
[pic 16],
где [pic 17] и [pic 18] – постоянные.
Если для некоторой функции[pic 19], непрерывной, однозначной, конечной и интегрируемой вместе со своим квадратом во всей области изменения своего аргумента, выполняется соотношение
[pic 20],
то [pic 21] называется собственной функцией оператора [pic 22], а [pic 23] – собственным значением этого оператора.
Скалярным произведением функций называется
[pic 24],
где звездочка означает комплексное сопряжение.
Свойства скалярного произведения
[pic 25],
[pic 26], [pic 27],
[pic 28], [pic 29], при [pic 30].
Выражение
[pic 31]
называется нормой функции.
Для ортонормированных функций дискретного спектра
[pic 32].
Для ортонормированных функций непрерывного спектра
[pic 33],
где [pic 34]-функция:
[pic 35]
[pic 36]-функция имеет свойства
[pic 37]
[pic 38]
Задачи
1. Перемножьте операторы [pic 39] и [pic 40].
Произведение
[pic 41].
Ответ: [pic 42].
2. Для операторов [pic 43] и [pic 44], удовлетворяющих соотношению [pic 45], найдите [pic 46].
К соотношению [pic 47] добавим и отнимем [pic 48]
[pic 49],
т.к. [pic 50].
Ответ: [pic 51].
3. Для операторов [pic 52] и [pic 53], удовлетворяющих соотношению [pic 54], найдите [pic 55].
Используя результаты предыдущей задачи, докажем, что полученное при [pic 56] соотношение верно и для [pic 57]. Пусть
[pic 58],
тогда
[pic 59]
[pic 60]
[pic 61].
Это соотношение справедливо для любого [pic 62]. Разложим [pic 63] в ряд по [pic 64]
[pic 65],
[pic 66]
[pic 67].
Ответ: [pic 68].
4. Проверьте, является ли оператор возведения в квадрат линейным.
Условие линейности оператора
[pic 69].
Возведем в квадрат линейную комбинацию функций
[pic 70].
Оператор возведения в квадрат не является линейным.
5. Проверьте, является ли оператор [pic 71] линейным.
Условие линейности оператора
...