Вільне падіння

ВІЛЬНЕ ПАДІННЯ.

Вільне падіння – це рух тіла під дією сили земного тяжіння без врахування сили опору повітря. Якщо відстань, яку проходить тіло під час руху, набагато менша за радіус Землі, то прискорення тіла  можна вважати сталим по величині та напрямом: , де  - прискорення вільного падіння. Біля поверхні Землі , на екваторі  трохи менше і рівне
, на полюсі трохи більше та рівне . Напрям вектора g співпадає з вертикаллю в даному місці Землі (напрям нерухомого підвісу). [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

Ідеалізованим уявленням про вільне падіння часто можна користуватись і за наявності повітря. Ця ідеалізація тим краща, чим вища густина тіла (наприклад, свинцева дробинка падає практично однаково у заповненій повітрям та у «відкачаній» трубці). Але використання даної ідеалізації, як і для довільної фізичної моделі, залежить не лише від властивостей тіла (густини речовини, форми і т. д.), але й від умов його руху. Так, при затяжному стрибку з парашутом падіння можна вважати вільним, доки швидкість мала. Однак по мірі росту швидкості опір повітря збільшується і в кінці – кінців навіть при нерозкритому парашуті встановлюється рівномірний рух зі швидкістю біля 60 м/с. З розкритим парашутом установлення швидкості відбувається значно швидше та й сама установлена швидкість рівномірного руху не перевищує значення 6 - 8 м/с.

Зауважимо, що вільне падіння тіла – це рух з прискоренням g, не залежно від того, як при цьому спрямована швидкість. Кинуте вгору чи під кутом до горизонту тіло знаходиться у вільному падінні у будь – який момент часу свого польоту, доки не впаде на Землю.

Якщо вибрати систему координат, в якій вісь У направлена вертикально вгору, а вісь Х – горизонтально (в площині руху), то рух матеріальної точки вздовж осі У буде рівноприскореним, а рух вздовж осі Х– рівномірним. Таким чином, в цій системі відліку рух точки описується рівняннями:

[pic 8]

 [pic 9][pic 10]

де х, у – координати точки; - відповідні проекції швидкості  на осі Х та У; [pic 11][pic 12]

у0 – координата точки по осі У при t =0 (х0 вважаємо рівним нулю); - проекції початкової швидкості  на відповідні вісі. [pic 13][pic 14]

[pic 15]Знайдемо рівняння руху тіла, або, що теж саме – рівняння траєкторії.

Оскільки , то підставляючи t в залежність у(t), одержимо рівняння траєкторії у вигляді квадратного тричлена:[pic 16]

[pic 17]

З цього виразу слідує, що траєкторія вільно падаючого тіла являє собою параболу. (якщо при цьому , то тіло рухається по вертикалі вниз, рис. 11). [pic 18]

Задача 7. Тіло падає з висоти h без початкової швидкості. Знайти швидкість в момент падіння.

Розв’язок. Якщо , то [pic 19][pic 20]

Час t, через який тіло досягне поверхні Землі (у = 0), можна знайти з рівняння:

[pic 21]

Звідси одержимо  Швидкість в момент падіння [pic 22][pic 23]

Задача 8. Тіло кинули вертикально вгору зі швидкістю  Знайти час польоту, порівняти з часом піднімання.[pic 24]

Розв’язок. В даному випадку: [pic 25]

При  тіло зупиниться ( і далі буде вільно падати. Тобто в момент часу  тіло досягне найвищої точки польоту. Підставляючи у вираз  значення , одержимо максимальну висоту . [pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]

Простіше одержати цю відповідь з формули . Повний час польоту t2 в два рази більше, ніж час t1:        [pic 32][pic 33]

[pic 34]

Задача 9. Тіло кинули горизонтально зі швидкістю  з висоти h (рис. 12). Знайти кінцеву швидкість та кут утворений вектором швидкості з вертикаллю.[pic 35]

Розв’язок. Рух тіла складається з: рівномірного переміщення по горизонтальній осі Х та рівноприскорений ( вільне падіння) з висоти h по осі У: 

                        [pic 39][pic 36][pic 37][pic 38]

Швидкість тіла (рис. 13) в довільний момент часу рівна