Результант и дискриминант

Алгебра-1 | Осень-2016 | Группа 104

[pic 1]

Листок 16

Результант и дискриминант

1. Теоретическая часть

В этом Листке для простоты можно считать, что коэффициенты многочленов комплексные числа. В частности, число корней многочлена (с учетом кратности) равно его степени.

1. Результант. Рассмотрим два многочлена

𝑓 (𝑥) = 𝑎0𝑥𝑛 + 𝑎1𝑥𝑛−1 + . . . + 𝑎𝑛,  𝑔(𝑥) = 𝑏0𝑥𝑚 + 𝑏1𝑥𝑚−1 + . . . + 𝑏𝑚,

где 𝑎0, 𝑏0 = 0. Предположим, мы хотим узнать  имеют ли 𝑓 и 𝑔 общий корень? Мы знаем по меньшей мере два способа узнать это: 1) разложить оба многочлена на множители и 2) воспользоваться алгоритмом Евклида. Оба эти способа весьма трудоемки.[pic 2]

Если 𝑓 и 𝑔 имеют общий корень, то 𝑓 = ℎ𝑝 и 𝑔 = ℎ𝑞 для некоторых многочленов ℎ, 𝑝, 𝑞. Следовательно, 𝑓 𝑞 = 𝑔𝑝, причем deg 𝑞 6 𝑚  1 и deg 𝑝 6 𝑛  1. С другой стороны, если 𝑓 и[pic 3]

𝑔 не имеют общих корней и 𝑓 𝑞 = 𝑔𝑝 = ℎ, то ℎ делится на 𝑓 𝑔, а потому deg 𝑞 > deg 𝑔 = 𝑚 и

deg 𝑝 > deg 𝑓 = 𝑛.

Пусть 𝑞 = 𝑢0𝑥𝑚−1 + 𝑢1𝑥𝑚−2 + . . . + 𝑢𝑚−1 и 𝑝 = 𝑣0𝑥𝑛−1 + 𝑣1𝑥𝑛−2 + . . . + 𝑣𝑛−1. Равенство 𝑓 𝑞 = 𝑔𝑝

можно записать в виде системы уравнений

𝑎0𝑢0 = 𝑏0𝑣0,

𝑎1𝑢0 + 𝑎0𝑢1 = 𝑏1𝑣0 + 𝑏0𝑣1,

𝑎2𝑢0 + 𝑎1𝑢1 + 𝑎0𝑢2 = 𝑏2𝑣0 + 𝑏1𝑣1 + 𝑏0𝑣2,

. . . . . . . . .

Ввиду сказанного выше, многочлены 𝑓 и 𝑔 имеют общий корень тогда и только тогда, когда эта система имеет ненулевое решение (𝑢0, 𝑢1, . . . , 𝑣0, 𝑣1, . . .). Например, при 𝑛 = 2, 𝑚 = 3 определитель этой системы уравнений имеет вид

𝑎0        0        0        −𝑏0        0

⃒        ⃒

𝑎0        𝑎1        𝑎2        0        0

⃒        ⃒

𝑎1        𝑎0        0        −𝑏1        −𝑏0

⃒        ⃒

0        𝑎0        𝑎1        𝑎2        0

⃒        ⃒

⃒𝑎2        𝑎1        𝑎0        −𝑏2        −𝑏1⃒ = ± ⃒ 0        0        𝑎0        𝑎1        𝑎2⃒ = ± det Syl(𝑓, 𝑔).[pic 4][pic 5]