Результант и дискриминант

                    Кафедра математики

Результант и дискриминант

  Курсовая работа

Направление подготовки: педагогическое образование
Профиль: математика и физика

Дата сдачи «___»  ______________ 20___г.

Дата защиты «___» ______________ 20___г.

Оценка ___________________

Научный руководитель __________________ / _________________ /

Содержание

стр.

Введение                                                                                                                       3

1. Результант. Исключение неизвестного                                                              4

2. Исключение неизвестного из системы двух уравнений с двумя неизвестными                                                                                                         13

3. Дискриминант                                                                                                    17

Заключение                                                                                                                 21

Список использованной литературы                                                                    22

Введение

Теория многочленов - важный раздел алгебры. Одним из главных в алгебре многочленов является вопрос о существовании корней уравнения, так известно, что есть даже квадратные уравнения с действительными коэффициентами, не имеющими действительных корней. Многочлены - один из наиболее значимых классов элементарных функций. С их изучением связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.

Таким образом, объект исследования: система уравнений вида f1(x1,...,xn)=0, ..., fn(x1,...,xn)=0.

Предмет исследования: решение системы двух уравнений произвольной степени от двух неизвестных.

Цель исследования: рассмотреть понятия результанта и дискриминанта, определить взаимосвязь данных понятий.

Цель исследования определила ее задачи:

1. Рассмотреть понятие результанта;

2. Доказать теорему о исключении одного неизвестного из системы двух многочленов с двумя неизвестными;

3. Рассмотреть понятие дискриминанта, раскрыть взаимосвязь между результантом и дискриминантом.

1. Результант. Исключение неизвестного.

В рамках данного исследования будем рассматривать многочлены над полем комплексных чисел. При этом известно, что любой многочлен вида:

, [pic 1]

где коэффициенты  и переменная x – комплексные числа, имеет хотя бы один корень – это утверждение называется основной теоремой алгебры.[pic 2]

Поскольку если  - корень многочлена, то многочлен делится на , то отсюда легко вывести, что любой многочлен представляется в виде:[pic 3][pic 4]

, где , , …,  - корни многочлена (среди которых могут быть и совпадающие – кратные корни). В рамках данного исследования нас будет интересовать вопрос: когда у двух многочленов  и ? Если это так, то у многочленов  и  будет общий множитель – многочлен степени 1 или выше. Тогда будут существовать многочлены  и , такие что:[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

[pic 15]

Таким образом, рассмотрим систему уравнений

где f1,..., fn - полиномы по x1,..., xn.

С помощью элементарных преобразований данную систему можно привести к эквивалентной ей (т.е. имеющей тот же набор решений) системе вида:

Здесь X(x1) - полином, а J2(x1),...,Jn(x1)- рациональные функции по x1. В этом случае решение первой системы сведется к решению уравнения от одной переменной; другими словами, все остальные переменные становятсяисключенными. Каждый корень полинома X(x1) задает первую компоненту (координату) решения первой системы, а остальные компоненты, которые соответствуют ему, выражаются через первую с помощью оставшихся уравнений второй системы. Еще раз выделю то обстоятельство, что все компоненты решения первой системы могут быть рационально выражены через какую-то одну, например - как во второй системе  - первую.