Предельные циклы. Характеристические показатели Ляпунова

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. Вернадского»

(ФГАОУ ВО «КФУ им. В. И. Вернадского»)

Таврическая академия (структурное подразделение)

Факультет математики и информатики

Предельные циклы.

Характеристические показатели Ляпунова

Симферополь, 2018

Предельные циклы

Зададим себе такой вопрос: возможны ли в диссипативной системе незатухающие колебания без воздействия внешней колебательной силы. Оказывается, да! В этом случае для поддержания колебаний система должна быть связана с каким-либо источником энергии, с помощью которого она могла б восполнять потери, связанные с действием силы трения. Чтобы колебания были незатухающими (стационарными), система за период колебаний должна взять у источника столько энергии, сколько расходуется у неё за это время. Для этого система должна сама управлять поступлением энергии от источника. Такие динамические системы настолько важны при изучении колебательных процессов, что для их выделения А.А. Андронов (1901-1952) предложил специальный термин - автоколебательные системы, а незатухающие колебания назвал автоколебаниями.

Следует отметить, что автоколебательные системы, совершенно различные по своей природе, встречаются везде. Это духовые и смычковые музыкальные инструменты, часовые механизмы, генераторы, разнообразные регуляторы, встречающиеся в технике, процессы в живом организме, такие как дыхание и работа сердца. Читателю, которого заинтересовали автоколебания, мы рекомендуем ознакомиться с замечательной книгой А.А. Харкевича (1904-1965) “Автоколебания” (Избранные труды в трех томах. Том 2, 1973 г.).

Математическим образом автоколебаний служит предельный цикл - замкнутая траектория в фазовом пространстве, отвечающая периодическому движению. Возможность существования периодического асимптотически устойчивого движения, которое представляется изолированной замкнутой траекторией в фазовом пространстве системы, к которой со временем притягиваются траектории из некоторой окрестности независимо от начальных условий, обеспечивается только в нелинейных диссипативных системах.

Предельные циклы, как и особые точки, могут быть устойчивыми и неустойчивыми. Предельный цикл является устойчивым, если существует такая область фазового пространства, содержащая этот предельный цикл, что все фазовые траектории, начинающиеся в этой области, при t —> ∞ асимптотически приближаются к предельному циклу. В противном случае предельный цикл называется неустойчивым.

Примером автоколебательной системы является нелинейный осциллятор Ван-дер-Поля, уравнение колебаний которого таково [1]:

                                [pic 1]

                  (2.46)        

Осциллятор назван по имени голландского физика Б. Ван-дер-Поля (1889-1959).В  фазовых координатах уравнение (2.46) примет вид системы уравнений:                                                        [pic 2]

(2.47)[pic 3]

 со знакопеременной дивергенцией правой части системы (2.47)

                    [pic 4]

(2.48)

Предлагаем читателю самостоятельно провести линейный анализ устойчивости системы (2.47) и установить существование особой точки (x,y) = (0,0), которая в случае неравенства  [pic 5]

представляет собой неустойчивый узел, а в случае - неустойчивый фокус.[pic 6]

В общем случае (2.47) не интегрируется, и исследования проводятся численными методами. В практически важном случае  > 0, b>0 уравнения (2.47) имеют единственно устойчивое решение в виде предельного цикла. Проанализируем на качественном уровне возможность установления режима автоколебаний в осцилляторе Ван-дер-Поля. При малых ξ (таких, что[pic 7]

        ) уравнение (2.46) можно приближенно записать в виде[pic 8]

[pic 9]

Это линейное уравнение аналогично уравнению линейного осциллятора с трением (2.26). Единственное отличие состоит в замене  на -, вследствие чего положение равновесия ξ = 0 оказывается неустойчивым. Поскольку слагаемое (-2) аналогично тому, которое учитывает трение в уравнении (2.26), то о нем говорят как об отрицательном трении.[pic 10][pic 11][pic 12]