Последствия ошибок измерения

Последствия ошибок измерения

В экономике при исследовании какой-либо зависимости используемые переменные часто оказываются неправильно измеренными. Например, в обследованиях часто имеются ошибки, сделанные по вине опрашиваемого, не помнящего чего-либо или неправильно понимающего вопрос. Вместе с тем сообщение неправильных сведений является не единственным источником неточностей. Иногда случается, что вы каким-то образом определили переменную в модели, но имеющиеся данные свидетельствуют о несколько другом определении. Широко известным примером такого случая является рассматриваемый в разделе 9.3 критический анализ М.Фридмена стандартной функции потребления.

Ошибки измерения объясняющей переменной

(переменных)

Предположим, что переменная Y зависит от переменной Z в соответствии с зависимостью

Yi = β1 + β2Zi + νi ,                                               (9.6)

где ν - случайный член с нулевым математическим ожиданием и дисперсией [pic 1], распределенный независимо от Z. Допустим, что Z невозможно измерить абсолютно точно, и мы будем использовать X для обозначения его измеренного значения. В i-м наблюдении Хi равно истинному значению Zi плюс ошибка измерения wi:

Xi = Zi + wi.                                                   (9.7)

Предположим, что w имеет нулевое математическое ожидание и дисперсию [pic 2], что Z имеет теоретическую дисперсию [pic 3] и что w распределено независимо от Z и ν. Подставив формулу (9.7) в уравнение (9.6), получим:

Yi = β1 + β2(Xi – wi) + νi = β1 + β2Xi + νi – β2wi .(9.8)

Это уравнение имеет две случайные составляющие – первоначальный случайный член ν и ошибку измерения w (умноженную на – β2). Вместе они образуют составной случайный член, который мы назовем u:

ui = νi – β2wi .                                           (9.9)

Соотношение (9.8) можно теперь записать как

Yi = β1 + β2Xi + ui .                                (9.10)

У нас есть значения переменных Y (временно мы будем предполагать, что они измерены точно) и X, и мы без каких-либо сомнений оцениваем регрессию Y от X. Коэффициент регрессии b2, как обычно, представляется выражением

[pic 4]                      (9.11)

Анализируя ошибку, мы можем заметить, что она, вероятно, поведет себя не так, как нам требуется. В соответствии с уравнениями (9.7) и (9.9) как Xi, так и ui зависят от wi. Теоретическая ковариация между X и u не равна нулю, и поэтому b2 является несостоятельной оценкой β2. Даже если бы у нас была очень большая выборка, оценка была бы неточной. В пределе она бы занижала β2 на величину