Контрольная работа по "Математическому анализу"

Найти численное решение уравнения теплопроводности с точностью

0.001 на отрезке t ∈[0,1]

Lu ≡ ∂u − ∂ 2u[pic 1]

= at + bx + 1,

∂t        ∂x 2

при t = 0 удовлетворяещем начальному условию а при х = 0 и х = 1 подчиняется краевым условиям[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

Для численного решения данного уравнения теплопроводности методом конечных разностей на отрезке [0,1][0,1] по x и [0,1][0,1] по t нам необходимо сначала разделить этот промежуток на

сетку.

Мы можем использовать явную схему, например, метод прогонки (явная схема Рунге-Кутты), который даст нам численное решение. Этот метод позволяет нам обновлять значения функции u(x,t) на основе значений на предыдущих временных и пространственных шагах.

Поскольку у нас есть начальные и краевые условия, а также уравнение, мы можем

аппроксимировать вторую производную по x и первую по t с помощью разностных приближений. Затем, используя явную схему Рунге-Кутты, мы сможем продвигаться вперёд по времени и по x- оси.

Шаги для решения:

Создать сетку x и t на отрезках [0,1][0,1] и [0,1][0,1] соответственно.

Применить начальные условия u(x,0)=(1/2)* x2 и краевые условия u(0,t)=1/2*t2, u(1,t)=1/2+1/2*t2+t Применить численный метод (например, явную схему Рунге-Кутты) для аппроксимации

производных и обновления значений функции u(x,t).

Повторить шаги по времени до достижения нужной точности (0.001) или окончания интервала времени.

Шаг 1: Создание сетки

Для начала нам нужно выбрать шаги дискретизации по x и t, чтобы разделить наши интервалы на конечные части. Давай разделим отрезок [0,1][0,1] на Nx частей по x и отрезок [0,1][0,1] на Nt

частей по t.

Получим шаги дискретизации: Δx=1/Nx ΔΔt=1/Nt

Теперь у нас есть сетка, на которой мы будем вычислять значения функции u(x,t). Шаг 2: Начальные и краевые условия

Значения функции u(x,0) и краевые условия u(0,t) и u(1,t) известны из начальных и краевых условий.

Начальное условие: u(x,0)=1/2*x2 для x в интервале [0, 1].

Краевые условия: u(0,t)=1/2*t2 и u(1,t)=1/2+1/2*t2+t для t в интервале [0, 1]. Шаг 3: Применение численного метода

Для решения уравнения теплопроводности с точностью до 0.001 на отрезке времени [0, 1], нам нужно аппроксимировать производные и обновлять значения функции u(x,t) на каждом

временном шаге.

Используем явную схему Рунге-Кутты (можем использовать, например, явную схему второго порядка). Она позволяет нам вычислить значения функции на следующем временном шаге, опираясь на предыдущие значения.