Контрольная работа по "Математическому анализу"
Автор: Nara14 • Май 21, 2023 • Контрольная работа • 1,243 Слов (5 Страниц) • 153 Просмотры
ВАРИАНТ № 7
Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
[pic 1]
Решение:
Общий вид уравнения с разделяющимися переменными следующий:
[pic 2].
Делением обеих частей уравнения приводим к виду с разделенными переменными, где в левой части преобразованного уравнения отсутствует переменная[pic 3], а в правой – переменная[pic 4]:
[pic 5]
Интегрируя затем левую и правую часть, получим общее решение в неявном виде:
[pic 6]
[pic 7]
[pic 8]
[pic 9]
Окончательно, общий интеграл имеет вид:
[pic 10]
где С – произвольная постоянная.
Задача 2. Найти общее решение однородного дифференциального уравнения.
[pic 11]
Решение:
Преобразуя
[pic 12]
получим:
[pic 13]
[pic 14]
Применим подстановку:
[pic 15]
и получим:
[pic 16]
[pic 17]
[pic 18]
Сократив на получим:[pic 19]
[pic 20]
[pic 21]
[pic 22]
Поделив на получим:[pic 23]
[pic 24]
Уравнение распадается на два уравнения с разделяющимися переменными. Интегрируем обе части:
[pic 25] | [pic 26] |
Произведя обратную замену, окончательно получаем:
[pic 27]
Задача 3. Найти, применяя подстановку Бернулли, общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка.
[pic 28]
Решение:
Подстановка Бернулли имеет вид: [pic 29]
Получаем:
[pic 30]
[pic 31]
[pic 32]
Чтобы найти неизвестные составим систему уравнений:[pic 33]
[pic 34]
Значение первого уравнения приняли равным нулю, чтобы найти а затем зная из второго уравнения получить [pic 35][pic 36][pic 37]
[pic 38]
Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:
[pic 39]
Интегрируя, получаем:
[pic 40]
[pic 41]
Зная найдем из условия: [pic 42][pic 43][pic 44]
[pic 45]
Интегрируя, получаем:
[pic 46]
Из условия получаем: [pic 47]
[pic 48]
Задача 4. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
[pic 49]
Решение:
Найдем общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения [pic 50]
Составим характеристическое уравнение [pic 51]
Т.к. характеристическое уравнение имеет два корня, и корни имеют чисто мнимый вид, то решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:
[pic 52]
Найдем частное решение неоднородного уравнения. Правая часть уравнения .[pic 53]
[pic 54]
Частное решение ищется в виде:
[pic 55]
Частное решение для [pic 56]
[pic 57]
[pic 58]
Подставляем в исходное уравнение [pic 59]
[pic 60]
[pic 61]
Частное решение для [pic 62]
[pic 63]
[pic 64]
Подставляем в исходное уравнение [pic 65]
[pic 66]
[pic 67]
Тогда общее решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
[pic 68]
Задача 5. Исследовать сходимость положительного ряда, применяя какой–либо из достаточных признаков сходимости (сравнения, Даламбера, радикальный или интегральный):
a) [pic 69];
Решение.
Так как при , то при [pic 70][pic 71]
[pic 72]
Сравним исходный ряд с рядом:
[pic 73]
[pic 74]
Следовательно, ряд сходится.
b) [pic 75]
Решение.
Применим радикальный признак Коши:
[pic 76]
Поскольку
[pic 77]
Получаем:
[pic 78]
Поскольку полученное значение больше 1, то ряд расходится.
c)[pic 79] .
Решение.
Используем интегральный признак Коши. Соответствующий интеграл:
[pic 80]
[pic 81]
Несобственный интеграл сходится, следовательно, вместе с ним сходятся и искомый ряд.
...