Контрольная работа по "Математическому анализу"
Автор: NoskovaGalina • Январь 15, 2022 • Контрольная работа • 1,230 Слов (5 Страниц) • 232 Просмотры
Вариант
(Экономический ф-т, заочное отд., 1 курс, 2 семестр)
- Исследовать сходимость рядов:
а) [pic 1] б) [pic 2]
в)[pic 3]
Решение.
а) [pic 4]
Общий член ряда: [pic 5].
Сравним данный ряд с рядом [pic 6] – обобщенным гармоническим рядом с показателем р=2>1 и поэтому сходящимся.
Так как [pic 7], то по признаку сравнения из сходимости ряда [pic 8] следует сходимость ряда [pic 9]
б) [pic 10]
Общий член ряда: [pic 11].
Применим признак Даламбера: [pic 12]
[pic 13]
[pic 14] по признаку Даламбера данный ряд сходится.
в) [pic 15]
Общий член этого знакочередующегося ряда: [pic 16].
Так как [pic 17] и [pic 18],
то по признаку Лейбница данный знакочередующийся ряд сходится.
Ответ: а) сходится; б) сходится; в) сходится.
- Определить радиус сходимости и область сходимости ряда
а) [pic 19]
Решение.
Применим признак Даламбера: [pic 20]
Ряд сходится, если[pic 21], т.е. если [pic 22]. или [pic 23].
Рассмотрим поведение ряда на концах интервала.
При [pic 24] получим ряд [pic 25], Так как [pic 26] и [pic 27],
то по признаку Лейбница полученный знакочередующийся ряд сходится.
При [pic 28] получим ряд [pic 29]− обобщенный гармонический ряд с показателем [pic 30], который, как известно, расходится.
Итак, радиус сходимости [pic 31], область сходимости ряда [pic 32].
Ответ: радиус сходимости [pic 33], область сходимости ряда [pic 34].
- Разложить в ряд по степеням x функцию: [pic 35].
Решение.
Воспользуемся разложением [pic 36].
Заменим в нём х на [pic 37]: [pic 38].
Прибавим ln3:
[pic 39]
Умножим почленно на [pic 40]:
[pic 41]
Ответ: [pic 42].
- Найти неопределённые интегралы:
а) [pic 43] б) [pic 44] в) [pic 45]
г) [pic 46] д) [pic 47]
Решение.
а) [pic 48]
[pic 49]
б) [pic 50]
Представим дробь [pic 51] в виде суммы простейших дробей:
[pic 52]
[pic 53]
Приравниваем коэффициенты:
[pic 54] [pic 55]
[pic 56]
[pic 57]
[pic 58]
в) [pic 59]
Представим дробь [pic 60] в виде суммы простейших дробей:
[pic 61]
[pic 62]
Приравниваем коэффициенты:
[pic 63] [pic 64]
[pic 65]
[pic 66][pic 67]
[pic 68]
[pic 69]
г) [pic 70]
[pic 71]
[pic 72]
[pic 73][pic 74]
д) [pic 75]
Представим дробь [pic 76] в виде суммы простейших дробей:
[pic 77]
[pic 78]
Приравниваем коэффициенты:
[pic 79] [pic 80]
[pic 81]
[pic 82]
Ответ: а) [pic 83] б) [pic 84]
в) [pic 85]
г) [pic 86]
д) [pic 87]
- Вычислить определённые интегралы: а) [pic 88] б) [pic 89]
Решение.
а) [pic 90]
[pic 91]
б) [pic 92]
Ответ: а) [pic 93] б) [pic 94]
- Вычислить площадь, ограниченную линиями: [pic 95].
Решение. [pic 96][pic 97][pic 98][pic 99][pic 100][pic 101] |
Радиус-вектор опишет четверть искомой площади, если [pic 102] меняется от 0 до [pic 103] :
[pic 104]
Следовательно, S=4
Ответ: 4
- Вычислить длину дуги кривой: [pic 105], отсеченной прямой х=4.
Решение.
[pic 106]
Найдем координаты точек пересечения:
[pic 107]; [pic 108]. Половина искомой длины дуги равна: [pic 109] [pic 110] [pic 111] Представим дробь [pic 112] в виде суммы простейших дробей: [pic 113] [pic 114]Приравниваем коэффициенты: [pic 115] [pic 116] [pic 117] [pic 118] [pic 119] [pic 120] | |
Вся длина дуги равна: [pic 121] |
Ответ: [pic 122]
...