Жиындардың декарттық көбейтіндісі

2-тарау. ҚАТЫНАСТАР

2.1 Жиындардың декарттық көбейтіндісі

Күнделікті біз жұп деген ұғымды жиі қолданамыз: аяқ киім жұбы, бишілер жұбы.

Қандай да бір А жиыны берілсін.

Анықтама. Белгілі бір ретпен алынған жиынның екі элементі реттелген жұп деп аталады.

а және b элементтерінің кез келген жұбынан (әр түрлі болуы міндетті емес) жаңа элементті – реттелген жұпты (a, b) кұрастыра аламыз. Егер (a, b) және (c, d) реттелген жұптарында a = c және b = d болса, бұл жұптар тең деп есептеледі және (a, b) = (c, d) деп жазылады. Дербес жағдайда, a = b болған жағдайда ғана (a, b) = (b, a) болады. Реттелген (a, b) жұбыың. a және b элементтері компонуеттер (координаталары) деп аталады (сәйкесінше бірінші және екінші координаталары).

Реттелген жұпта a = b болуы мүмкін.

Мысал. А = {1,3,5,7} және В = {2, 4, 6} жиындарында келесі бинарлық қатынастарға тиісті реттелген жұптарды жазыңыз:

R = {{x, y): x + y = 9};

Шешім. Бұл жағдайда R келесі жұптардан тұрады: (3, 6), (5, 4) және (7, 2).

Анықтама. Кортеж – әрбір элементі белгілі бір орынды алатын элементтердің жиынтығы.

Мысалы, кезекте тұрған адамдар жиыны, сөйлемдегі сөздер жиыны, сөздегі әріптер жиыны, т.б.

Анықтама. Кортеждің ұзындығы – кортеждегі элементтердің саны. Кортеждер әдетте жақшадағы (немесе бұрыштық жақшада) тізбекпен белгіленеді .[pic 1]

Ұзындығы 1-ге тең болатын кортеждер де кездеседі – бұл тек бір элементтен тұратын жиындар. Егер  және  кортеждерінде болса, онда  және  кортеждері тең деп есептеледі.[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

Ұзындығы 2-ге тең болатын кортеждер жұптар болып табылады, ұзындығы 3-ке тең – үштіктер және т.б., ұзындығы n-ге тең – n-діктер деп аталады. Егер екі кортеждің ұзындығы бірдей және компоненттері бірдей сандар болса, онда екі кортеж тең деп аталады,

Анықтама. Элементтерінің орналасу реті маңызды болатын жиын реттелген жиын деп аталады. Бейресми түрде, егер жиында қай элемент қайсысынан кейін тұратыны (қай элемент қайсысынан үлкен екені) көрсетілсе, жиын жартылай реттелген болады. Мысалы, әрбір элементінің өзінің реттік нөмірі бар жиынды реттелген жиын деп айтады.

Анықтама. барлық реттелген жұптардың (a, b) жиыны А және В жиындарының декарттық (тікелей) көбейтіндісі деп аталады, мұндағы a ∈ A және b ∈ B, яғни, бірінші а компоненті А жиынына, ал екінші b компоненті В жиынына тиісті.

A және B жиындарының декарттық көбейтіндісі [pic 7] деп белгіленеді. Анықтамаға сәйкес келесі жазба қолданылады:

= {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.[pic 8]

Егер А және В жиындары ақырлы болса, онда  қатынасы ақиқат.[pic 9]

Мысал. A = {1, 2, 3} және B = {2, 3, 4} жиындары берілсін. Сонда [pic 10] жиыны келесі тоғыз элементтен тұрады: (1, 4) (2, 4) (3, 4) (1, 3) (2, 3) (3, 3) (1, 2) (2, 2 ) (3, 2).

Графикалық түрде  жиындар көбейтіндісінің элементтерін «координаталық жазықтықта» немесе тікбұрышты кестенің ұяшықтарында орналастыру ыңғайлы болады:[pic 11]

(1, 4), (2, 4), (3, 4),

(1, 3), (2, 3), (3, 3),

(1, 2), (2, 2), (3, 2).

Математикада үш, төрт және т.б элементтерден тұратын реттелген жиындар да қарастырылады.

Жұптар сияқты реттелген үштік, төрттік және жалпы алғанда, бірінші жиынның элементі бірінші орында, екінші жиынның элементі екінші орында, т.с. жазылатын еркін ұзындықтағы элементтердің реттелген жиындарын қарастыруға болады.