Расчет спектра прямоугольных импульсов

Введение

Периодический сигнал произвольной формы может быть представлен в виде суммы гармонических колебаний с разными частотами, это называется спектральным разложение сигналом. Гармониками называются колебания, частоты которых в целое число раз больше частоты следования импульсов сигнала. Спектр сигнала - это совокупность гармонических составляющих с конкретными значениями частот, амплитуд и начальных фаз, образующих в сумме сигнала. На практике чаще всего используется диаграмма амплитуд.

Расчетно-графическая работа № 1.  Расчет спектра прямоугольных импульсов

Задание №1

Для последовательности прямоугольных импульсов, показанных на рисунке 1:

 [pic 1][pic 2][pic 3]

Рисунок 1 – Временной график последовательности прямоугольных импульсов

а) определить амплитуды и частоты первых пяти нечетных гармоник;

б) изобразить частотный спектр;

в) вычислить мгновенное напряжение в нескольких точках графика сигнала.

Таблица 1 - Примеры рядов Фурье

[pic 4]

а) При рассмотрении графика на рисунке 1 можно видеть, что постоянная составляющая этого сигнала равна 0 В и что его форма имеет как нечетную, так и полупериодическую симметрию. Решая уравнения (5)—(7), находим следующий ряд Фурье для прямоугольного сигнала с нечетной симметрией:

   (8)[pic 5]

где v(t) — переменное напряжение, В; V0 — постоянная составляющая напряжения, В; V — амплитуда прямоугольного сигнала, В; ω = 2πf — угловая частота, рад/сек; Т — период прямоугольного сигнала, сек; f — основная частота прямоугольного сигнала (1 / Т), Гц.

Основная частота прямоугольного сигнала: f = 1 / Т = 1кГц.

Из уравнения (8) можно видеть, что частоту и амплитуду n-й нечетной гармоники можно определить следующим образом:

                                               fn= n∙f                                                                    (9)

                         (n= нечетное натуральное число)                               (10)[pic 6]

где n — номер гармоники (у прямоугольного сигнала существуют только нечетные гармоники); f — основная частота прямоугольного сигнала, Гц; Vn - амплитуда n-ой гармоники, В; fn — частота n-ой гармоники, Гц; V — амплитуда прямоугольного сигнала, В.

Подставляя n = 1 в уравнения (9) и (10), получаем:

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

Таблица 2

б) Частотный спектр сигнала показан на рисунке 2.

[pic 12]

Рисунок 2 – Частотный спектр сигнала

в) Подставляя предыдущие результаты в уравнение (8), имеем:

[pic 13]

Находим значение v(t) для t = 62,5 мкс:

=4,9[pic 14]

Результаты вычислений v(t) для некоторых других значений времени приведены в таблице:

Таблица 3

     График сигнала, построенный по результатам таблицы 3, показан на рисунке 3. Хотя показанная форма сигнала не точный прямоугольный сигнал, но  достаточно хорошо (близко) напоминает его. Чтобы достичь более точной формы, необходимо найти значения v(t) для большего количества гармоник, чем приведено в таблице.