Ріст інформаційних потоків

 РОБОТА №1

Ріст інформаційних потоків

За відсутності обмежуючих факторів швидкість росту наукових публікацій визначається досягнутим рівнем розвитку науки. З цього випливає, що механізм росту числа публікацій [pic 1] задається таким диференційним рівнянням:

[pic 2]                                                (1)

де [pic 3] - константа, яка характеризує середній відгук на публікації в тій чи іншій сфері знань.

Рівняння (1) свідчить, що швидкість росту [pic 4] числа публікацій є пропорційною до досягнутого рівня [pic 5], або  відносна швидкість росту  [pic 6] є постійною величиною.

Розв'язком рівняння (1) є експоненційна залежність

[pic 7]                                                         (2)

        Криву росту, які задається рівнянням (2), можна переписати у вигляді

[pic 8]                                                        (3)

де [pic 9] - час подвоєння числа публікацій.

Завдання. Використовуючи ресурси інтернету, побудувати часову залежність росту числа публікацій за тематикою магістерської роботи (вибрати не менше двох розділів тематики). З отриманих даних визначити час подвоєння числа публікацій.

Механізм росту, що задається рівнянням (1), не може  тривати як завгодно довго, оскільки  включаються фактори, які стримують ріст (недостача кадрових та матеріальних ресурсів, тощо). У цьому випадку механізм росту описується наступним диференційним рівнянням:

[pic 10].                                        (4)

У цьому випадку ріст обмежений величиною [pic 11], яка є максимальним значенням величини [pic 12]. Відносна швидкість росту

[pic 13]

зменшується  лінійно з ростом [pic 14]: чим вищим є досягнутий рівень , тим меншою є швидкість росту. Розв'язок диференційного рівняння (4) має вигляд так-званої логістичної кривої:

[pic 15]                                                (5)

В початкові моменти часу (коли [pic 16]), логістична крива практично співпадає з експонентою, а прямі [pic 17] є асимптотами логістичної кривої. Точка [pic 18] є  точкою перегину логістичної кривої, при якій змінюється знак прискорення.

Відмітимо, що логістична крива широко використовується для опису багатьох явищ.

Завдання. Побудувати  на одному рисунку експоненційну (2) та логістичну (5) криві.  Дослідити особливості логістичної кривої.

Співставлення з ростом народонаселення.

Томас Мальтус (1798 р.) запропонував закон, згідно якого ріст населення описується геометричною прогресією.  В моделі з невичерпними і постійними ресурсами приріст населення визначається різницею коефіцієнтів народжуваності та смертності.:

[pic 19],                                          (6)

де [pic 20] величина, що рівна різниці коефіцієнтів народжуваності  ([pic 21] ) та смертності ([pic 22]).

Розв'язком рівняння (6) є функція

[pic 23] ,                    

де [pic 24] - число людей у початковий момент часу.

Якщо [pic 25], то спостерігається експоненційний ріст населення, а при [pic 26] - еспоненційний спад населення.

Рівняння (6) можна переписати у вигляді:

[pic 27],                                                         (7)

де [pic 28] - час подвоєння числа людей.

Завдання. Прийнявши час подвоєння [pic 29] років, і виходячи з сучасної кількості людей [pic 30]= 7 млрд,  з формули (7)  оцінити час, за який на кожному квадратному метрі суходолу буде по одній людині.