Повторні незалежні випробування (схема Бернуллі)

Лабораторна робота 2

Повторні незалежні випробування (схема Бернуллі) 

Мета та основні завдання роботи: за допомогою пакета Microsoft Excel навчитися розв’язувати задачі, пов’язані з повторними незалежними випробуваннями та основними теоремами схеми Бернуллі.

Основні теоретичні відомості

Незалежні випробування, що повторюються багато разів, називаються випробуваннями Бернуллі, якщо у кожному з них є лише два можливі наслідки [pic 1] і [pic 2], а ймовірності [pic 3] і [pic 4] цих наслідків є сталими для всіх випробувань.

Теорема. Імовірність того, що у [pic 5] випробуваннях Бернуллі, у кожному з яких імовірність появи події дорівнює [pic 6] [pic 7], а непояви — [pic 8], подія настане [pic 9] разів, становить

                                     [pic 10]                                   (2.1)

Число [pic 11], що є найімовірнішим числом «успіхів» (числом появ події) у схемі Бернуллі, задовольняє нерівність

[pic 12]                                     (2.2)

Локальна теорема Муавра–Лапласа. Якщо ймовірність  появи події [pic 13] у кожному випробуванні стала і міститься у межах [pic 14], то ймовірність [pic 15] того, що подія [pic 16] з’явиться у [pic 17] незалежних випробуваннях [pic 18] разів, наближено дорівнює (чим більше [pic 19], тим точніше) значенню функції

[pic 20], де [pic 21], [pic 22]         (2.3)

Функція [pic 23] називається функцією Гаусса. Її значення для додатних значень аргумента [pic 24] наведено у відповідній таблиці (дод. 1).

Інтегральна теорема Муавра–Лапласа. Якщо ймовірність  появи події [pic 25] в кожному випробуванні стала і міститься у межах [pic 26], то ймовірність [pic 27] того, що подія [pic 28] настане не менше [pic 29] і не більше [pic 30] разів, наближено дорівнює

[pic 31], де[pic 32]  (2.4)

Функція [pic 33] називається функцією Лапласа.       Її значення для додатних значень аргумента [pic 34] наведено у відповідній таблиці (дод. 2).

Теорема Пуассона. Якщо у схемі Бернуллі кількість випробувань [pic 35] велика ([pic 36]), а ймовірність [pic 37] появи події [pic 38] в одному випробуванні мала ([pic 39]), але [pic 40], то ймовірність появи [pic 41] разів події [pic 42] у [pic 43] випробуваннях наближено дорівнює

[pic 44]                                       (2.5)

Приклади розв’язування типових задач

Приклад 2.1.Технічна система складається з 10 вузлів, які можуть відмовити незалежно один від одного з імовірністю 0,2. Знайти найімовірніше число [pic 45] вузлів, які відмовлять, і відповідну ймовірність.

Розв’язання. Нехай подія [pic 46] – відмова блока, [pic 47]; [pic 48], [pic 49].

За формулою найімовірнішого числа «успіхів» у схемі Бернуллі (2.2) маємо: [pic 50]; [pic 51]; [pic 52]. Імовірність відмови двох вузлів з десяти знайдемо за формулою Бернуллі (2.1):

[pic 53].

Використаємо функцією Excel категорії Статистические БИНОМРАСП (рис. 2.1), яка активізується за допомогою команд

Формулы=>Статистические=>БИНОМРАСП.

Відкриється діалогове вікно, де у полі «число_успехов» потрібно вказати число 2, «число_испытаний» дорівнює 10; «вероятность успеха» дорівнює 0,2; «интегральная» вказуємо 0. Отримаємо значення 0,302.