Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

Задание № 1.

Предприятие выпускает два вида продукции [pic 1] и [pic 2], для производства которых используется сырьё трех видов. На изготовление единицы изделия [pic 3] требуется затратить сырья каждого вида [pic 4], [pic 5], [pic 6] кг соответственно, а для единицы изделия [pic 7] – [pic 8], [pic 9], [pic 10] кг. Производство обеспеченно сырьем каждого вида в количестве [pic 11], [pic 12], [pic 13] кг соответственно. Стоимость единицы изделия [pic 14] составляет [pic 15] руб., а единицы изделия [pic 16] – [pic 17] руб. Требуется составить план производства изделий [pic 18] и [pic 19], обеспечивающий максимальную стоимость готовой продукции:

а)        решите задачу симплекс-методом;

б)        сформулируйте двойственную задачу и найдите её решение;

в)        определите интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к изменению сырья каждого вида в отдельности;

г)        оцените стоимость готовой продукции, если запасы сырья каждого вида на производстве изменились на величину [pic 20] кг соответственно.

д)        решите исходную задачу геометрически.

Решение:

а) Решение задачи симплекс – методом.

Составим экономико-математическую модель задачи. Для этого обозначим [pic 35] – количество изделий вида [pic 36], [pic 37] – изделий вида [pic 38]. Эта задача является задачей оптимального использования сырья, поэтому система ограничений имеет вид:

        [pic 39]        (1)

где справа стоит количество каждого вида сырья, которое не может быть превышено в процессе производства изделий. Эти ограничения являются нетривиальными.

Далее, количество изделий физически является неотрицательными (нельзя произвести отрицательное количество изделия), что дает нам тривиальные ограничения задачи:

        [pic 40].        (2)

Наконец, функция цели (целевая функция) представляет собой общую стоимость произведенной продукции, и эта функция в данной задаче оптимизируется на максимум:

        [pic 41]        (3)

Для решения задачи симплекс – методом приведем задачу (1)–(3) к каноническому виду, введя дополнительные балансовые переменные [pic 42], [pic 43], [pic 44], которые означают остатки сырья соответственно 1-го, 2-го и 3-го типов. При этом неравенства (1) преобразуются в уравнения (другими словами, левые части сбалансированы с правыми частями):

        [pic 45]        (4)

По смыслу балансовые переменные также неотрицательны, поэтому тривиальная система ограничений принимает вид:

        [pic 46].        (5)

Введем балансовые переменные и в целевую функцию с нулевыми коэффициентами:

        [pic 47]        (6)

Задача в форме (4)–(6) имеет канонический вид. При этом систему (4) можно записать в векторной форме:

        [pic 48]

где [pic 49], [pic 50], [pic 51], [pic 52], [pic 53], [pic 54].

Здесь векторы [pic 55], [pic 56] и [pic 57]имеют предпочтительный вид, т.е. являются единичными в одном из компонентов и нулевыми во всех остальных компонентах. Вектор [pic 58] называется столбцом свободных членов системы ограничений.