Лекции по "Математике"

1-ЛЕКЦИЯ

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

[pic 1] ([pic 2] [pic 3]- целое положительное число) -  класс Соболева определяется следующим образом:

f(θ ) ∈ [pic 4](0,2π) [pic 5]≤ 1,

(r = 1,2,…).

[pic 6](0,2π) (r > 1) -  класс Коробова определяется следующим образом

f(θ ) ∈ [pic 7](0,2π) [pic 8]≤ 1.

[pic 9] – коэффициенты Фурье.

 [pic 10]

[pic 11] - класс Никольского-Бесова определяется следующим образом:

[pic 12].

[pic 13].

[pic 14] - Лебегова норма со степенью суммируемости q функции f.

[pic 15] есть норма числовой последовательности [pic 16][pic 17], определяемая как

[pic 18]=[pic 19]

 [А]– целая часть числа А.

[pic 20]- означает сумму [pic 21].

[pic 22]- гиперболический синус.

ℱ (H) – наименьшая [pic 23]-алгебра, содержащая все цилиндрические множества.

ВВЕДЕНИЕ

Оценка современного состояния решаемой научной задачи.      Современный прогресс вычислительной техники и информативных технологии оказывает влияние на многие разделы науки. Не являются исключениями и фундаментальные науки. Даже классическая математика с ее установившимися традициями с появлением новых компьютерных возможностей требует переосмысления традиционных постановок проблем, методов и средств их решений.

В настоящее время стали усиленно разрабатываться методы дискретной математики, хотя до этого приоритетное направление было связанно с непрерывными континуумиальными методами. В частности, большой прогресс достигнут в области доказательства разрешимости краевых задач для общих дифференциальных уравнений с частными производными. Постановки указанных краевых задач ориентированны на сугубо индивидуальные  методы математического анализа, дифференциальных уравнений. Но при решении краевых задач для дифференциальных уравнений компьютерными средствами в принципе возникает несколько иная ситуация – отличная от известных исследованных постановок краевых задач. В данном случае требуется по ограниченной конечной  исходной информации получить информацию о решении краевой задачи в необходимых точках. В подобных постановках краевые задачи до сих пор мало изучены. Данная работа направлена на решение этой малоизученной задачи для некоторых специальных классов краевых задач.

Актуальность темы.   Изучаемые постановки задач выходят к тому фундаментальному положению, что компьютер дает возможность запомнить большие конечные массивы чисел (количество разрядов и объем которых ограничивается техническими характеристиками компьютера) и производит над ними четыре арифметические операции, а также выполняет простейшие логические операции и некоторое количество служебных программ (см., напр., [1, с.12; 2, с.5-6]).

Тем самым ([2, с.6]): «На компьютере можно изучать только те математические модели, которые описываются конечными наборами чисел, и используют конечные последовательности арифметических действий, а также сравнение чисел по величине (для автоматического управления дальнейшими вычислениями)».

Разумеется, первоначальными и основными математическими моделями, подлежащих изучению, являются основные объекты математического анализа, понимаемого, в широком смысле, как «почти вся математика» [3, с.7], а именно, функции, производные, интегралы, решения уравнений в частных производных и т. д. (составляющих постоянно обновляющееся содержание университетского курса «Численные методы» - «Вычислительная математика»).

Приведем общую постановку задачи восстановления в редакции из [1].

Пусть [pic 24] и [pic 25] нормированные пространства числовых функций (действительно – или комплекснозначных), определенных соответственно на множествах  [pic 26] и [pic 27]. Пусть [pic 28] – класс функций и [pic 29] – есть отображение [pic 30] в [pic 31].