Алгоритм исследования функции и построение графика

Алгоритм исследования функции

и построение графика

1. Нахождение области определения функции.

1. Исследование функции на четность или нечетность.

1. Нахождение вертикальных асимптот.

1. Нахождение наклонных асимптот.

1. Нахождение точек пересечения с осями координат.

1. Определение производной.

1. Определение второй производной.

1. Построение графика.

   ---

[pic 1]

1. Поскольку знаменатель положителен при всех х, область определения функции – вся ось Ох.

1. Функция f(x) – нечётная, поскольку при смене знака х числитель меняет знак, а знаменатель остаётся без изменения, ⇒ f(-x) = -f(x).

График функции симметричен относительно начала координат.

Периодической функция не является.

1. Так как область определения этой функции вся ось, вертикальных асимптот график не имеет.

1. Находим наклонные асимптоты при x⭢±∞ в виде y = kx + b:

[pic 2]

[pic 3]

Таким образом, асимптотой как при x⭢ -∞, так и при x⭢ +∞ служит прямая

у = 1х + 0 = х.

1. Находим точки пересечения с осями координат.

f(0) = 0, причем х = 0 – единственное решение уравнения f(х) = 0. Значит, график
у = f(х) пересекает сразу и ось Ох, и ось Оу в начале координат.

Очевидно, что f(х) > 0 и f(х)< 0 при  х< 0.

1. Найдём производную:

[pic 4]

f '(x) ≥ 0 при всех х Є R; единственная точка, в которой  f '(x) = 0 – это х = 0. Значит, функция f(x) возрастает на своей оси Ох, а в стационарной точке х = 0 имеет горизонтальную касательную.