Кривые и поверхности второго порядка
Автор: Oleg Yusupov • Апрель 3, 2018 • Курсовая работа • 3,064 Слов (13 Страниц) • 885 Просмотры
Кафедра высшей математики
«Кривые и поверхности второго порядка»
Дубна 2002
Оглавление
Введение
Часть I. Исследование кривой второго порядка
1. Определение типа кривой с помощью инвариантов
2. Приведение к каноническому виду
3. Построение графиков
4. Вывод
Часть II. Исследование поверхности второго порядка
1. Определение типа поверхности.
2. Приведение к каноническому виду
3. Исследование формы поверхности методом сечений
4. Графики уравнения поверхности.
5. Вывод
Введение
Цель:
Целью данной курсовой работы является исследование кривой и поверхности второго порядка. Закрепление теоретических знаний и практических навыков по изучению и анализу свойств кривых и поверхностей второго порядка.
Постановка задачи:
- Для данного уравнения кривой второго порядка:
- Определить тип кривой с помощью инвариантов.
- При α=0 записать каноническое уравнение прямой и определить расположение центра
- Привести уравнение к каноническому виду, применяя параллельный перенос и поворот координатных осей.
- Для данного уравнения плоскости второго порядка:
- Исследовать форму поверхности методом сечений плоскостями, построить линии, полученные в сечениях.
- Построить поверхность в канонической системе координат.
Часть I. Исследование кривой второго порядка
1. Определение типа кривой с помощью инвариантов
Для данного уравнения кривой второго порядка:
(5 - α)x2 + 4xy + 3y2 + 8x – 6y +5 = 0 (3.1)
определить зависимость типа кривой от параметра α с помощью инвариантов.
Для данного уравнения кривой второго порядка:
a11 = 5 - α, a12 = 2, a13 = 4, a22 = 2, a23 = -3, a33 = 5
Вычислим инварианты:
I1 = a11 + a22 = (5 - α) +2 = 7 - α
I2 == = (5 - α)2 – 4 = 6 -2α
I2 === (5 - α)10-24-24-32-9(5 - α)-20 = -α-95
Согласно классификации кривых второго порядка:
- Если I2 = 0, то данное уравнение (3.1) определяет кривую параболического типа:
I2 = 6 - 2α = 0, следовательно, при α = 3 уравнение определяет кривую параболического типа.
При α = 3 I3 = - α - 95 = -3 - 95 = 98 № 0. Значит, при α = 3 уравнение (3.1) задаёт параболу.
II. Если I2 № 0, то задаваемая кривая является центральной. Следовательно, при α № 3 данное уравнение задаёт центральную кривую.
- Если I2 > 0, то уравнение задаёт кривую эллиптического типа:
Значит, при α < 3 уравнение (3.1) задаёт кривую эллиптического типа.
- Если I1 I3 < 0, то уравнение определяет эллипс:
I1 I3 = - (7 - α)(α+95) = α2+88α-665 < 0, при решении получаем α О (-95 , 7). Следовательно, при α О (-95 , 3) уравнение (3.1) задаёт эллипс.
b. Если I1 I3 > 0, то уравнение определяет эллипс:
I1 I3 = α2+88α-665 > 0, при решении получаем α О (-Ґ, -95). Следовательно, при α О (-Ґ , -95) уравнение (3.1) задаёт мнимый эллипс.
...