Оператордың спектрі

Оператордың спектрі

Жалпы спектр ұғымы операторлар теориясының негізгі ұғымдарының бірі болып таблады. Әдетте, спекторды оқып үйрену барысында қарастырылатын сызықтық кеңістіктер кешен сандар өрісінде анықталған деп саналады.

Алдымен ақырлы өлшемді кеңістіете берілген  операторын қарастыралық, мұнда  кешен сандар жиыны. Егер [pic 1][pic 2]

теңдеуінің нөлдік емес шешімі бар болса, онда  санын  операторының меншікті мәні деп атайды. Ал осы нөлдік емес шешімі  операторының меншіктң векторы деп аталады. Оператордың барлық меншікті мәндері жиынын оның спекторы деп атайды. Ал -ның өзге мәндерін  операторының регулярлы мәндері деп атайды. Егер  операторының кері операторы бар болса, онда -ның сәйкес мәнін регулярлы нүкте деп атайды. Осы орайда,  операторы бүкіл  ақырлы өлшемді кеңістігінде берілгендіктен, шенелген оператор.[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

Сонымен, ақырлы өлшемді кеңістікте екі түрлі жағдай орын алады:

1.  теңдеуінің нөлдік емес шешімі бар, яғни  – саны  операторының меншікті мәні болады. Бұл жағдайда  операторы анықталмайды;[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]
2. Бүкіл кеңістікте анықталған және шенелген  операторы бар, яғни  – регулярлық нүкте болады.[pic 17][pic 18]

Егер  операторы шексіз өлшемді кеңістікте берілсе, онда келесідей үшінші жағдай орын алуы мүмкін:[pic 19]

1.  операторы бар, яғни   теңдеуінің тек нөлді шешімі ғана бар, бірақ  операторы бүкіл кеңістікте анықталмайды (шенелмегкен болуы да мүмкін).[pic 20][pic 21][pic 22]

Енді мынадай терминдерді енгізелік. Егер бүкіл  банах кеңістігінде анықталған  операторы бар болса, онда  саны  операторының регулярлы мәні деп аталады. Ал  операторы  - ның резольвентасы деп аталады.  операторы бүкіл кеңістікте анықталғандықтан, шенелген оператор болады.[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

 санының өзге мәндері жиыны  операторының спекторы деп аталады. Спектор құрамына  операторының барлық меншікті мәндері енеді, өйткені  саны меншікті мән болса, онда () теңдеуінің нөлдік емес шешімі бар болып,  кері операторы анықталмайды.  санының осындай мәндері жиынын нүктелік спектор деп атайды. Ал спектордың қалған бөлігін, яғни  кері операторы бар болатындай, бірақ бүкіл кеңістікте анықталмайтындай-ның мәндері жиынтығын үзіліссіз спектор деп атайды.[pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]

Сонымен, -ның мәні: регулярлық мән, немесе, меншікті мән, немесе, үзілісссіз спектор нүктесі болуы мүмкін. Оператордың үзіліссіз спекторының бар болуы – ол шексіз өлшемді кеңістіктердің ақырлы өлшемді кеңістіктерден өзгешелігінің маңызды бөлігі.[pic 40]

Айталық,  банах кеңістігінде  операторы берілсін. Егер  регулярлық нүкте болса, яғни бүкіл  кеңістігінде анықталған  кері операторы бар және шенелген болса, онда   санының мейлінше аз мәндерінде  операторы да бүкіл  кеңістігінде анықталып, шенелген болады, яғни   саны да  операторының регулярлық нүктесі. Сонымен,  операторының регулярлық нүктелері ашық жиын. Онда спектор, регулярлық нүктелер жиынының толықтауышы ретінде, тұйық жиын болады.[pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51]