Цилиндрлік беттер

ЦИЛИНДРЛІК БЕТТЕР

Анықтама: Цилиндрлік беттер деп берілген түзуге параллель болып қалатын және берілген (бағыттаушы деп аталатын) Z сызығын қиятын (жасаушы деп аталатын) түзумен сипатталатын бетті атайды.

[pic 1]

Сур. 2.2

Бағыттауыш анықталатын теңдеу:

F1 (X ,Y , Z ) = 0

және

F 2 (X ,Y , Z ) = 0 ,        (1)

ал        m, n, p – цилиндрлік беттің жасаушысының бағыттауыш векторының координаттары.

Жасаушының каноникалық теңдеуінің түрі:

x − X m[pic 2]

= y − Y

n[pic 3]

= z − Z

p[pic 4]

,        (2)

Мұндағы, x, y, z – ағымдағы координаттары, X,Y,Z – бағыттауышқа

тиісті нүктенің координаттары.

1. және (2) төрт теңдеулерден X, Y, Z алып тастасақ, онда цилиндрлік беттің ізделінген теңдеуі шығады.

Дербес жағдайларын қарастырайық. Бет теңдеуіне айнымалылардың

біреуі тиісті емес, анық болуы үшін z, яғни F (x, y) = 0 .

Oxy жазықтығында бұл теңдеу L қисық сызығын анықтайды. Кеңістікте бұл теңдеуді тек қана бірінші екі координаттары L сызығының координаттарымен беттесетін кеңістіктің барлық нүктелері қанағаттандырады,  яғни  Оху  жазықтығының  L  сызығының  нүктелеріне

проекцияланатын        кеңістіктің        нүктелері        ғана        алынады.        M (x , y , z )

1        1        1

нүктелерінің барлық жиыны болып  M (x1, y1 ,0) нүктесінен өтетін Oz осіне

параллель түзу. Сонымен,  F (x, y) = 0 теңдеуін қанағаттандыратын барлық

нүктелердің жиыны болып        Oz осіне параллель және L сызығын қиятын түзуімен сипатталатын бет цилиндрлік бет болады.

Сондай ақ,

Сур.2.3

F (x, z ) = 0 – жасаушысы        Oy осіне параллель цилиндрлік[pic 5]

беттің теңдеуі, беттің теңдеуі.

F (y, z) = 0 - жасаушысы        Oх осіне параллель цилиндрлік

Жасаушысы Oz осіне параллель тік цилиндрлерді атайық:

x 2        y 2[pic 6]

1)        = 1[pic 7][pic 8]

a2        b2

– бағыттаушысы Oxy жазықтығындағы эллипс

болатын эллипстік цилиндр.        Эллипстік цилиндрдің дербес жағдайы тік

дөңгелек цилиндр, яғни

x 2 + y 2

= a 2 .

[pic 9]

x 2        y 2[pic 10]

2)        = 1[pic 11][pic 12]

a2        b2

Сур. 2.4

- бағыттаушысы Oxy жазықтығындағы гипербола

болатын гиперболалық цилиндр.

[pic 13]

3)        y 2 = 2 px

Сур. 2.5

- бағыттаушысы Oxy жазықтығындағы парабола болатын

параболалық цилиндр.[pic 14]

Сур. 2.6

 Есептер

1. Мына жағдайлардың әрқайсысына сфераның теңдеуін құрастырыңыз: а) сфераның центрі С (0; 0; 0) нүктесінде және радиусы 9-ға тең;

Жауабы: x2 + y2 + z2 = 81;