Евклідові кільця

1. Подільність в інтегральному інтервалі

У даній роботі  будемо використовувати таке позначення. Нехай D позначає цілісну область,  ненульові елементи D, а  мультипликативну групу одиниць D. Хоча багато результатів у цьому документі стосуються довільних комутативних кілець, ми зупинимося на областях цілісності. Наступні визначення будуть використовуватися протягом всієї роботи.[pic 1][pic 2]

 Означення 1. Елемент  в D називається одиницею, якщо  для деяких  в D. Елементи  і   в D називаються асоційованими, якщо  для деякої одиниці  в D.   і   називаються відносно простим, якщо їх єдиними спільними дільниками є одиниця D.[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

Означення 2. Ненульовий невід'ємний елемент  в D називається невідтворюваним, якщо  і   є елементами в D і , то  або    є одиницею. Ненульовий невід'ємний елемент  в D називається простим, якщо   , що означає  або [pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

Наступні факти легко випливають із наведених вище визначень.

i) u - одиниця, тодіі лише тоді, коли  .[pic 22]

 ii)  і   є асоційованими тоді і тільки тоді, коли . [pic 23][pic 24][pic 25]

iii) Ненульовий невід'ємний елемент є простим, тоді і лише тоді, коли  є основним ідеалом.[pic 26][pic 27]

У деяких цілісних областях набір простих чисел відрізняється від набору невідтворюваних. Однак у нас завжди є

Теорема 1. Якщо  є простим у D, тоді p є нескоротний.[pic 28]

Доведення. Припустимо, що  і . Тоді   і тоді . За законом про скорочення  , з якого видно, що  - це одиниця. Отже,  є неcкоротний. [pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]

Примітка. Зворотне вірно у випадку, якщо D є PID або UFD. □

Поняття найбільшого спільного дільника відіграє центральну роль у всій роботі.

Означення 3. Нехай  - ненульові елементи в D. Найбільший спільний дільник (НСД) на  - це ненульовий елемент d, такий, що; для всіх  = 1, … , n, а якщо  для всіх  = 1, … , n  , тоді  .[pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42]

Зауважимо, що в загальній інтегральній області не гарантується ні існування, ні унікальність НСД. У теоремах 2 та 3 наводяться основні факти щодо НСД двох елементів. Хоча це і не показано явно, простою індукцією ці пропозиції справедливі для будь-якої кінцевої кількості елементів.

Теорема 2. Нехай a і b - ненульові елементи в D, а d - НСД з a і b. Тоді НСД( a;b ) є точно асоціативним d.

Доведення. Якщо  - НСД a і 6, то d | d' і d' | г. Отже d = ud', d' = vd, і так d = uvd. За законом про скорочення  1 = uv. Отже, u і v є одиницями, що показує, що d і d'є асоційованими. І навпаки, припустимо, що d і d' є асоційованими. Тоді d = ud' і d' = vd для деяких одиниць u і v. Оскільки d | a, d |b, то d'| a, d'| b.  Більше того, щоразу, коли c | a, c | b, тоді c | d, тому c | d'. Отже, d '- НСД a і b. □[pic 43]

Теорема 3. Нехай a і b є ненульовими елементами в D. Якщо (a, b) = (d), то d – НСД  a і b. Дочедення. Зазначимо спочатку, що d | a, d | b, тоді і тільки тоді, коли є , якщо і тільки якщо (a, b) є (d). Таким чином, d  є D * є НСД a і b, якщо   є  і якщо є , то є . З теореми  випливає, що =  .

Тепер ми покажемо, що в PID існування НСД гарантується. Зокрема,

Наслідок  1. Якщо D - PID, то a і b мають НСД  d і в D існують елементи x і y таі, що  d = ax + by.

Доведення. Оскільки кожен ідеал у D головний, то =  для деяких d є D. Із теореми, d є НСД  a і b, а оскільки d є (a, b), то d = aх + by для деякого х, y є D.

Наслідок 2. Якщо D - PID, то c - НСД з a і b, тоді  і лише тоді, коли = .

Доведення.  За теоремою, якщо = , то c є НСД (a ; b) . І навпаки, припустимо, що c – НСД  (a ;b).  За наслідком  1, a і b мають НСД  d, де = . З теореми  2 випливає, що c і d є асоціативними. Звідси =  = .

Приклад 1. У  НСД(18 ; 48)  є  6 і -6. Для будь-якого D, D [х]`= D`. Отже, у Q [x] НСД  - всі поліноми g (x- 1) з q є Q*. Однак у Z [x ] НСД  є (x -1) та (х+1).[pic 44][pic 45][pic 46]