Группалар

Лекция 1

Тақырыбы: Группалар.

Мақсаты: Группа, ішкі группа, іргелес класс, қалыпты ішкі группа, фактор-группа, группалар гомоморфизмі ұғымдарымен, олардың мысалдарымен мысалдарымен. қасиеттерімен,  Кэли, Лагранж группалар гомоморфизмі туралы теоремаларымен танысу.

Негізгі сөздер: группа, гомоморфизм, Кэли теоремасы, Лагранж теоремлсы, группалар гомоморфизмі туралы теоремалар.

Жоспары: 

1. Группа туралы түсінік және мысалдар.

2. Группаның қарапайым қасиеттері.

3. Ішкі группалар.

4. Іргелес кластар және қалыпты ішкі группа.

5. Группалар гомоморфизмі.

6. Кэли және Лагранж теоремалары.

7. Группалар гомоморфизмі туралы теоремалар.

1. Группа туралы түсінік және мысалдар

1-Анықтама. [pic 1] және [pic 2] сәйкесінше [pic 3] бос емес жиынында анықталған бинарлық және унарлық амалдар, ал [pic 4] осы жиындағы ноль-арлық амал болсын. Группа деп бас амалдары төмендегі шарттарды қанағаттандыратын [pic 5]алгебрасын айтады:

10 кезкелген [pic 6] үшін [pic 7] теңдігі орындалады (бинарлық амалдың ассоциативтігі);

20 кезкелген [pic 8] үшін [pic 9] теңдіктер орындалатындай [pic 10] элементі бар болады (бейтарап элементтің бар болуы);

30 әрбір [pic 11] үшін үшін [pic 12] теңдіктері орындалатындай [pic 13] элементі бар болады (әрбір элемент үшін симметриялы элементтің бар болуы ).

Егер кезкелген [pic 14] үшін [pic 15] теңдігі орындалса, онда [pic 16] группасы коммутативті немесе абельдік группа деп аталады.

Жоғарыдағы группа анықтамасындағы бинарлық [pic 17] амалын мультипликативті түрде де, аддитивті түрде де жазуға болады. Абельдік группаларда әдетте аддитивті жазу түрі жиі пайдаланылады. Бұл жағдайда бинарлық амал қосу амалы (жазылуы [pic 18]), бейтарап элемент нольдік элемент (жазылуы 0), берілген элементке симметриялы элемент қарама-қарсы элемент (жазылуы [pic 19]элементі үшін [pic 20]) деп аталады.

Бинарлық амалдың мультипликативті түрде жазылуында бинарлық амал көбейту амалы (жазылуы [pic 21]), бейтарап элемент бірлік элемент (жазылуы [pic 22] немесе 1), берілген элементке симметриялы элемент кері элемент (жазылуы [pic 23]элементі үшін [pic 24]) деп аталады.

Тапсырма: Бинарлық амалдардың мультипликативті және аддитивті түрде жазылулары үшін 5.1 анықтаманы қайта тұжырымдау керек.

5.1 анықтамадағы 10 – 30 шарттар группа аксиомалары деп аталады.  Бұл аксиомалардан унарлық және нольарлық амалдардың бинарлық амал арқылы анықталатынын көреміз. Сондықтан  [pic 25] группасын  [pic 26] арқылы белгілеп, [pic 27] амалы [pic 28] группасын анықтайды немесе [pic 29]жиыны  [pic 30] амалына қатысты группа құрайды деп те айтуға болады.

Бұдан былай [pic 31] группасы үшін қысқаша [pic 32] белгілеуін пайдаланамыз.

Группаға мысалдар келтіру үшін [pic 33] жиынын, [pic 34] бинарлық амалын беру және осы амалдың 10 – 30 аксиомаладры қанағаттандыратынын көрсету жеткілікті.

Мысалдар: 1) [pic 35], [pic 36], [pic 37], [pic 38] – сәйкесінше бүтін, рационал, нақты және комплекс сандар жиыны, ал +  – осы жиындарда анықталған қосу амалы (қосу амалы – бинарлық амал!) болсын. Онда [pic 39], [pic 40], [pic 41], [pic 42] алгебралары группа болып табылады. Группа аксиомаларын тексеру еш қиындық тудырмайды. Қосу амалы коммутативті болғандықтан бұл группалар – абельдік группалар. Бұл группаларды сәйкесінше бүтін, рационал, нақты және комплекс сандардың аддитивті группалары дейді.