Векторынын аfыны

§ 4. КЕРНЕУЛ1К ВЕКТОРЫНЫҢ АҒЫНЫ

            Ауданды  нормаль бағытыңда тесіп өтетін күш сызықтарының санын немесе [pic 1] және  [pic 2] векторларының скаляр   көбейтіндісін кернеулік векторының ағыны деп атайды.

[pic 3]

                           4-сурет                                    5-сурет

Біртекті өрісте [pic 4] нормалі өpic векторы [pic 5]- мен [pic 6] бұрыш жасайтын жазық бет орналасқан дейік (4-сурет).  Сонда,  ағынның анықтамасы бойынша [pic 7] мынаған тең болады:

                  [pic 8].                         (10)

мұндағы  [pic 9]-  Е –нің  [pic 10] нормалі бағытына проекциясы.  Егер өріс біртекті емес болса және де ағыны анықталатын бет жазықтық болмаса, онда бұл бетті шексіз аз [pic 11] элементтеріне бөлшектеу керек (5-сурет). Осыдан шыққан әрбір элементті жазық, ал оны қиып  өтетін өрісті біртекті деп санау керек. Бұл жағдайда ағын [pic 12] арқылы былайша жазылады: [pic 13].

            Тұйық бет  арқылы өтетін толық ағын мына түрде анықталады: [pic 14].       (10)   өрнегінен   ағынның   оң,  сондай-ақ  теріс болатыны байқалады. Егер [pic 15] бұрышы сүйір ([pic 16]>0) болса, онда ағын оң болады, егер [pic 17] бұрышы доғал ([pic 18]<0) болса, онда ағын тсріс болады. Егер бет тұйық болса, онда нормальдің оң бағыты ретінде сыртқы нормальдің бағыты таңдалып алынады.

§ 5. ОСТРОГРАДСКИЙ - ГАУСС ТЕОРЕМАСЫ

             Өрісті +q нүктелік заряды тудырады дейік. Мұның айналасынан кез келген г радиусты  [pic 19] сферасын сызайық. Осы сфералық беттен өтетін [pic 20] векторы ағынын есептейік. Нүктелік зарядтың өpic кернеулігі    [pic 21]  ал сфера бетінің  ауданы  [pic 22] болғандықтан,

[pic 23].             

             Бұл формула кернеулік ағынының сфераның радиусына тәуелсіз болатынын көрсетеді.   Олай  болса,  центрден  кез  келген  қашықтықта орналасқан  сфералық  беттен

[pic 24]

6-сурет

өтетін күш сызықтарының саны бірдей болады. Сондықтан да күш сызықтары үздіксіз болады. Сол себепті ішінде +q заряды болатын кез келген тұйық бет арқылы өтетін вектор ағыны  [pic 25]  мынаған тең болады:

                                      [pic 26].                               (11)

 Егер де  бет  зарядты   қамтымайтын болса  (6-суреттегі [pic 27] — беті), онда бетке енетін (кіретін) және одан шығатын күш сызықтарының   саны    бірдей болады,  ал тұйық беттен өтетін толық ағын   [pic 28].

               S беті  [pic 29] зарядтарының жиынтығын қамтитын болсын. Өрістің суперпозициясы бойынша

[pic 30]

және

[pic 31],

мұндағы [pic 32] мен [pic 33] нормалі  бетке бағытталған кездегі [pic 34] мен [pic 35]-ге сәйкес проекциялары, сонымен

                                          [pic 36].                       (12)

Тұйық бет арқылы өтетін кернеулік векторының ағыны осы беттің ішінде болатын зарядтардың алгебралық қосындысына пропорционал болады. Бұл тұжырым Остроградский — Гаусс теоремасы деп аталады.

             Остроградский — Гаусс теоремасы арқылы кейбір дербес жағдайлардағы электр өрісін есептеп табайық.

             а) Біркелкі зарядталған шексіз беттің электр өрісі. Бет берілсін. Бұл бет q зарядын өзімен бірге тасымалдайды. Заряд S бетінің екі жағына (1- және 2-жағына) [pic 37]  тығыздығымен біркелкі таралады. Сонда Остроградский — Гаусс теоремасына сәйкес

[pic 38]       [pic 39]

Бұдан

                                [pic 40]                                                      (13)

             б) Әр аттас зарядталған ( +[pic 41]  және — [pic 42]) шексіз параллель екі жазықтықтың өрісі.  Бұл жағдайда зарядтар пластинкалардың ішкі беттерінде болады. Сондықтан да