Трапеция

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Примечания

Здравствуйте, садитесь.

Для начала давайте повторим изученный материал устно, а три человека будут работать по карточкам.

Вопросы:

1. Что такое параллелограмм?

1. А что такое четырехугольник?

1. Давайте вспомним свойства параллелограмма, которые мы изучили.

1. Перечислите признаки параллелограмма. Сколько их?

Сегодня на уроке мы с вами изучим новую фигуру, которая называется трапеция.

Попробуйте нарисовать на доске фигуру, которая будет изображать трапецию.

Давайте теперь определим, что же такое трапеция.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.

Трапеция — слово греческое, означавшее в древности «столик». В «Началах» термин «трапеция» применяется не в современном, а в другом смысле: любой четырехугольник (не параллелограмм). «Трапеция» в нашем смысле встречается впервые у древнегреческого математика Посидония (I в.). В средние века трапецией называли, по Евклиду, любой четырехугольник (не параллелограмм); лишь в XVIII в. это слово приобретает современный смысл.

Если у трапеции боковые стороны равны, то как мы можем назвать эту трапецию?

Такая трапеция называется равнобедренной.

Если один из углов трапеции прямой, то такая трапеция называется прямоугольной.

Почему я сказала один из углов прямой, а на рисунке указала 2?

Давайте рассмотрим некоторые факты о трапеции и поработаем в группах.

1. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.

2. У равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

3. У равнобедренной трапеции диагонали равны.

Давайте обсудим, что мы знаем о трапеции?

 Где еще в повседневной жизни мы сталкивались с предметами, которые называются «трапеция»?

Давайте перейдем к практической части, начнем решать задачи, но прежде для нас дежурные проведут физкультминутку.

Задача №1.

Диагонали BD и AC трапеции ABCD пересекаются в точке O. Длина диагонали BD равна 40 см. Найдите величину отрезка ОD, если основания трапеции BC и AD относятся как 3 к 7.

Задача №2.

Четырёхугольник с длинами сторон 1, 1, 1 и 2 имеет две параллельные стороны и разбит на четыре одинаковые фигуры (см. рисунок). В результате верхняя сторона разделилась на четыре отрезка. Найдите отношение длины большего отрезка к меньшему. 

№387

Найдите углы В и D трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если угол А=36°, угол С=117°.

№389

Докажите, что трапеция равнобедренная, если: а) углы

при основании равны; б) диагонали трапеции равны.

Подведение итогов урока.

Домашнее задание: прочитать пункт 44, выполнить №№ 386, 390, 392

Параллелограммом называется  

четырехугольник, у которого противоположные  

стороны попарно параллельны.

Каждый четырехугольник имеет

четыре вершины, четыре стороны и две  

диагонали

1)В параллелограмме противоположные

стороны равны и противоположные углы

равны.

2) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Их 3.

1) Если в четырехугольнике две стороны

равны и параллельны, то этот четырехугольник— параллелограмм.

2) Если в четырехугольнике  

противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник—параллелограмм.

3) Если в четырехугольнике диагонали  

пересекаются и точкой пересечения делятся

пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Ответы учеников.

Ученики записывают в тетрадь определения.

Делают рисунок трапеции в тетради, обозначают основания и боковые стороны.

Предположения учеников.

Рисуют равнобедренную трапецию, обозначая равные стороны.

Рисуют прямоугольную трапецию, обозначая прямые углы.

Ответы учеников

Ученики записывают факты в тетрадь.

Доклад ученика.

Физкультминутка.

Решение.

Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам - AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как 3 к 7. Таким образом:

BO / OD = 3 / 7

По условию задачи, BO + OD = 40, соответственно

OD = 40 - BO

Таким образом,

BO / ( 40 - BO ) = 3 / 7

7BO = 3 ( 40 - BO )

7BO = 120 - 3BO

10BO = 120

BO = 12

Соответственно, OD = 40 - 12 = 28

Ответ: 28 см

[pic 1]

Решение.

Пусть x — длина меньшего отрезка. В верхней стороне четырёхугольника, имеющей длину 1, укладывается 3 маленьких отрезка и один большой. Значит, длина большого отрезка равна 1 - 3x. В нижней стороне четырёхугольника, имеющей длину 2, укладывается 3 больших отрезка и один маленький. Получаем уравнение

3. (1 - 3x) + x = 2.

Отсюда

3 - 9x + x = 2.

Следовательно,

х = 1/8

Итак, длина меньшего отрезка равна 1/8. Поэтому длина большего равна 1 - 3 . 1/8 = 1 - 3/8 = 5/8. Значит, больший отрезок в пять раз длиннее меньшего.

Ответ: 5

[pic 2]

Решение.

Так как AD параллельна BC, то угол А + угол В=180°; 36°+ угол В =180°; угол В = 144°; угол С + угол D = 180°; 117°+угол D = 180°; угол D = 63°.

Ответ. 144°, 63°.

[pic 3]

Решение.

а) 1) Дополнительное построение: [pic 4], получим прямоугольник [pic 5]

2) Рассмотрим  ∆ [pic 6] и ∆ [pic 7]

[pic 8] (из1), [pic 9] (усл), следовательно, AB=CD.

б)

1) Рассмотрим ∆ [pic 10] и ∆[pic 11]

АС=BD (по усл.) [pic 12] (из 1 п.а), следовательно, [pic 13](по определению равных треугольников)

2) [pic 14]

следовательно, [pic 15]

3) Рассмотрим ∆[pic 16]и ∆ [pic 17] , [pic 18](из 1 п.а), [pic 19](из 1 п.б), следовательно, ∆[pic 20]=∆[pic 21] (по двум катетам), следовательно, АВ=CD.

Карточки в приложении

Карточки собираются через две минуты после устного опроса.

Обсуждение ответов.

На доске изображена трапеция

[pic 22]

После записи определения на рисунке показываются основания и боковые стороны.

Обсуждение информации с учащимися, беседа.

[pic 23][pic 24]

Обсуждение ответов

Класс делится на группы и каждая из них пробует доказать один из фактов.

Обсуждение доказательств.

Обсуждение доклада.