Matematik modellashtirish fanifan topshiriqlar

Matematik modellashtirish fanifan topshiriqlar.

1.Egri chiziqning istalgan M(x,y) nuqtasining OM radius vektori OM, shu nuqtadan o‘tkazilgan MP urinma va Ox o‘q hosil qilgan uchburchakning yuzi 2 ga teng. Egri chiziq A(4;-4) nuqtadan o‘tadi. Uning tenglamasini toping.

Shartga ko'ra, M(x,y) nuqtaning radius vektori uning koordinata nuqtasigacha bo'lgan masofasiga teng: OM = √(x²+y²). Shuningdek, shartga ko'ra, MT urinishi va Ox o'qi natijasida hosil bo'lgan uchburchakning yuzi 2 ga teng, ya'ni P(x,0) nuqta markazi O(0,0) nuqtada joylashgan aylanada yotadi va radiusi 2. Shunday qilib, bizda tizim tenglamalari mavjud:

x² + y² = OM²

x² + y² = 4

Birinchi tenglamani ikkinchi tenglamadan ayirib, biz quyidagilarni olamiz:

0 = 16 - OM²

Bu berilgan doiradagi barcha nuqtalar uchun OM = 2 ekanligini bildiradi.

Endi kerakli egri chiziq tenglamasini topamiz. E’tibor bering, A(4,-4) nuqta shu chiziqda yotadi. Faraz qilaylik, bu chiziq y = f(x) tenglamaga ega. Shunda uning hosilasi f'(x) = dy/dx ga teng bo'ladi. Lekin biz bilamizki, OM = √(x²+y²) egri chizig‘ining istalgan nuqtasi uchun, shuningdek, markaz O(0,0) nuqtada joylashgan aylanada OM = 2 va radius 2. Demak,

√(x²+f(x)²) = 4

Tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantirib, biz quyidagilarni olamiz:

x² + f(x)² = 4

Shunday qilib, kerakli egri chiziqning tenglamasi quyidagi shaklga ega:

x² + y² = 4

bu yerda y = f(x) oldingi bosqichdagi tenglamaning yechimi.

1.Bug’i (o'lja) ning dastlabki populyatsiyasi 5000 boshdan iborat. Bug'i populyatsiyasining har yil oxirigacha omon qolgan qismi uning sonini 25% ga oshiradi. Bug’ilar soni 1,2,3, 5 va 10 yil ichida qancha bo'lishini hisoblang. Olingan barcha ma'lumotlarni grafik tarzda taqdim eting.

Oddiy hisob-kitob shuni ko'rsatadiki, 1 yildan keyin kiyiklar soni 6250(5000 + 5000 ning 25%), 2 yildan keyin - 7812(6250 + 6250 ning 25%), 3 yildan keyin - 9765 (7812+7812ning 25%),5 yildan keyin – 12206.25(9765+9765ning 25%)(kiyiklarning dastlabki soni yillar sonining kuchiga 1,2 ga ko'paytiriladi) va 10 yildan keyin – 37852.51.

Grafik jihatdan ma'lumotlarni grafikda ko'rsatish mumkin, bunda x o'qi yillar, y o'qi esa aholi soni bo'ladi. Ko'k chiziq oddiy hisoblash natijasini.Agar aholi soni 100 000 kishidan oshsa, u grafikdagi ushbu qiymat bilan cheklanadi.

1. Nafas yo‘llarining yiringli yallig'lanishi jarayonlarini qo'zg'atuvchi mikroorganizm – Streptococcus pneum onise dastlabki soni 100 ta bo‘lib, ko‘payish koeffitsiyenti 5 ga, qirilish koeffitsiyenti 0.1 ga, zahar ishlab chiqarish koeffitsiyenti 0.15 ga teng bo‘lsa, mikroorganizmlar maksimal qiymatini toping. Bakteriyalarning nobud bo‘lish bosqichida qancha vaqtdan keyin (daqiqa yoki soat) nolgacha kamayadi?

Bu misolni ishlash uchun, Lotka-Volterra modelidan foydalanamiz. Ushbu model ikkita turi mavjud: birinchi turi Streptococcus pyogenes, ikkinchi turi esa immun tizimining xelakor qilish kuchidir, bu tizim bakteriyalarni o'ldiradi.

Lotka-Volterra differensial tenglamalari quyidagicha:

dS/dt = rS - aSI

dI/dt = -bI + cSI

Bu yerda S - Streptococcus pyogenes soni, I - immun tizimining soni, r - Streptococcus pyogenes ko'payish koeffitsiyenti, a - xalokorlik koeffitsiyenti (bir bakteriya nechta immun tizimini o'ldirishi), b - immun tizimini o'ldirish koeffitsiyenti va c - zahar ishlab chiqarish koeffitsiyenti.

Tenglama yechimini topish uchun, sistemani barqaror holatda (dS/dt = 0 va dI/dt = 0) qarab o'zaro qarab solamiz. Birinchi tenglamadan S ni aniqlaymiz:

rS - aSI = 0

S = 0 yoki I = r/a

Agar S = 0 bo'lsa, I har qanday son bo'lishi mumkin, chunki bakteriyalar yo'qotilgandan keyin immun tizimi ko'payishi uchun hech qanday to'xtovsizlik yo'q. Agar I = r/a bo'lsa, S ham har qanday son bo'lishi mumkin, chunki bu holatda bakteriyalar o'sish va o'ldirish orasida to'g'ri balans mavjud.

Maksimal mikroorganizm sonini topish uchun, S(t) funksiyasining maksimum nuqtasini topishimiz kerak. Bu maqsadga, dS/dt = 0 tenglamasini yechamiz:

r - aSI = 0

I = r/aS

Ushbu qiymatni ikkinchi tenglamaga joylashtirib, quyidagicha yozamiz:

dI/dt = -bI + cSI

dI/dt = -b(r/aS) + cS(r/aS)

dI/dt = (c/b)r - (c/a)I

Bu tenglama dI/dt = aI - b shaklidagi tenglamaga o'xshashligi uchun a = c/aS va b = c(r/aSb) ni qo'llaymiz. Uni hal qilish uchun quyidagi yechimlarni topamiz:

I(t) = (b/a) + Ce^(at)

Bu yerda C - integratsiya konstantasi va u erdan aniqlanishi kerak. Agar boshlang'ich Streptococcus pyogenes soni 100 ta bo'lsa, S(0) = 100 bo'ladi. Shuningdek, boshlang'ich immun tizimi soni nolga teng bo'lsa, I(0) = 0. U holda C = -b/a va

I(t) = (b/a) - (b/a)e^(at)

Ushbu qiymatni birinchi tenglamaga joylashtirib, S(t) ni topamiz:

dS/dt = rS - aSI

dS/dt = rS - abS(b/a - (b/a)e^(at))

dS/dt = rS - bS + be^(at)S

Bu tenglama dS/dt = aS + bSe^(at) shaklidagi tenglamaga o'xshashligi uchun a = r va b = be^(a0), bu yerda a0 = ln(b/a). Uni hal qilish uchun quyidagi yechimlarni topamiz:

S(t) = Ce^(at) + (b/a)

Bu yerda C - integratsiya konstantasi. Boshlang'ich holatda S(0) = 100 bo'ladi, shuning uchun C = 100 - (b/a) va

S(t) = (b/a) + (100 - (b/a))e^(rt)

Maksimal mikroorganizm soni funksiyasining maksimum nuqtasida paydo bo'ladi, bu esa t = ln(a/b)/r da bo'ladi. Sonlarni kiriting va hisoblang: