Системи криптографічного захисту. Встановлення закономірностей в натуральному ряді

Завдання.

Побудувати числову спіраль, починаючи з заданого числа (центр спіралі). Задане число має вигляд : 11 + 2L , де L – номер студента в загальному списку потоку .

Знайти закономірності на головних і бічних пів-діагоналях отриманої числової спіралі.

Виконання роботи:

11 + 2 * 13 = 37

Приклад №1

Знайти аналітичні вирази двох головних піддіагоналей і двох бічних піддіагоналей числової спіралі з центром 37.

Побудувала числову спіраль починаючи з числа 37.

137 136 135 134 133 132 131 130 129 128 127

138 101 100 99 98 97 96 95 94 93 126

139 102 73 72 71 70 69 68 67 92 125

140 103 74 53 52 51 50 49 66 91 124

141 104 75 54 41 40 39 48 65 90 123

142 105 76 55 42 37 38 47 64 89 122

143 106 77 56 43 44 45 46 63 88 121

144 107 78 57 58 59 60 61 62 87 120

145 108 79 80 81 82 83 84 85 86 119

146 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

Спосіб 1:

Розташувавши числа по спіралі, знайшла закономірності їх появи на піддіагоналях f1(x), f2(x), f3(x) та f4(x), які описала за такими формулами:

f1(x)= x^2-x+37;

f2(x)= x^2+37;

f3(x)= x^2+x+37;

f4(x)= x^2+2x+37;

де \mathbit{x}=\mathbf{2}\mathbit{n}; n \in [0; \infty)– номер квадрату (номер числа на будь-якій піддіагоналі).

Підставила в ці формули x=2n:

1) f1(n)=(2n)^2-2n+37=4n^2-2n+37;

2) f2(n)=(2n)^2+37=4n^2+37;

3) f3(n)=(2n)^2+2n+37=4n^2+2n+37;

4) f4(n)=(2n)^2+4n+37=4n^2+4n+37;

Між знайденими вище формулами знайшла ще одну закономірність, і представила її у вигляді такої загальної формули:

fk(n)=(\mathbf{2}\mathbit{n})^\mathbf{2}+(\mathbit{k}-\mathbf{2})\mathbf{2}\mathbit{n}+\mathbf{37}=\mathbf{4}\mathbit{n}^\mathbf{2}+(\mathbit{k}-\mathbf{2})\mathbf{2}\mathbit{n}+\mathbf{37}; де k\in [1;4] – номер піддіагоналі;

Перевірила, знаходжу 3-те число у кожній з піддіагоналей:

k=1: f_1(3)=4\ast3^2-2\ast3+37=36-6+37=67

k=2: f_2(3)=4\ast3^2+37=36+37=73

k=3: f_3(3)=4\ast3^2+2\ast3+37=36+6+37=79

k=4: f_4(3)=4\ast3^2+4\ast3+37=36+12+37=85

Спосіб 2:

37 39 49 67 93

2 10 18 26

8 8 8

Розглядаю квадратний многочлен: f(x)=Ax^2+Bx+C, де x\in [1; \infty).

f(1)=37=A+B+C

f(2)=39=4A+2B+C

f(3)=49=9A+3B+C

Обчислюю першу різницю:

R1=(4A+2B+C)-(A+B+C) = 3A+B

R2=(9A+3B+C)-(4A+2B+C) = 5A+B