Тройные интеграллы

Тройные интегралы

Задача, приводящая к тройному интегралу

Пусть дано материальное тело, представляющее с собой пространственную область Ω, заполненную массой. Требуется найти массу m этого тела при условии, что в каждой точке Р ∈ Ω известна плотность

μ=μP=μx, y, z, Px, y∈Ω,

распределения масс.

Разобьем область Ω на неперекрывающиеся кубируемые (т.е. имеющие объем) части

Ω1, Ω2,…, Ωn

с объемами

∆v1, ∆v2,…, ∆vn

соответственно. В каждой из частичных областей Ωk выберем произвольную точку Pk. Примем приближенно, что в пределах частичной области Ωk плотность постоянна и равна μ(Pk). Тогда масса ∆mk этой части тела выразится приближенным равенством

∆mk≈μPk∆vk,

а масса всего тела будет приближенно равна

m≈k=1nμPk∆vk.

Пусть d – наибольший из диаметров частичных областей Ωk (k=1,2,…,n).

Если при d → 0 сумма (1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения области Ω на частичные подобласти, ни от выбора точек Pk∈Ωk, то этот предел принимается за массу m заданного тела,

m=limd→0k=1nμPk∆vk.

Пусть в замкнутой кубируемой области Ω определена ограниченная функция

fP, P∈Ω.

Разобьем Ω на n непересекающихся кубируемых частей

Ω1, Ω2,…, Ωn

а их объемы обозначим через

∆v1, ∆v2,…, ∆vn

соответственно. В каждой частичной подобласти Ωk произвольным образом выбираем точку Pk(xk,yk,zk) и составляем интегральную сумму

σ=k=1nf(Pk)∆vk.

Пусть d – наибольший из диаметров частичных областей Ωk(k=1, 2, …, n).

Определение. Если при d→0 интегральные суммы σ имеют предел, не зависящий ни от способа разбиения области Ω на частичные подобласти Ωk, ни от выбора точек Pk∈Ωk, то этот предел называется тройным интегралом от функции fx, y, z по области Ω и обозначается символом

Ωfx,y,zdv, или ΩfPdv.

При этом функция f(x,y,z) называется интегрируемой в области Ω.

Таким образом, по определению имеем

Ωfx,y,zdv=limd→0k=1nf(xk,yk,zk)∆vk

Возвращаясь к задаче о вычислении массы тела, замечаем, что предел (2) есть тройной интеграл от функции μ(P) по области Ω. Значит,

m=ΩμPdv=Ωμx,y,zdx dy dz.

Здесь dx dy dz- элемент объема dv в прямоугольных координатах.

Теорема. Если функция f(x,y,z) непрерывна в замкнутой кубируемой области Ω, то она интегрируема в этой области.

Свойства тройных интегралов

Свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов. Перечислим основные из них.

Пусть функция f(P) и φ(P) интегрируемы в кубируемой области Ω.

Линейность.

ΩαfP+βφPdv=αΩfPdv+βΩφPdv,

где α и β- произвольные вещественные постоянные.

f(P)≤φ(P) всюду в области Ω, то

ΩfPdv≤ΩφPdv.

Если f(P)≡1 в области Ω, то

Ωdv=V,

где V- объем области Ω.

Если функция f(P) непрерывна в замкнутой кубируемой области Ω и М и m – её наибольшее и наименьшее значения в Ω, то

mV≤ΩfPdv≤MV,

где V- объем области Ω.

Аддитивность. Если область Ω разбита на кубируемые области Ω1 и Ω2 без общих внутренних точек и f(P) интегрируема в области Ω, то f(P) интегрируема на каждой из областей Ω1 и Ω2, причем

ΩfPdv=Ω1fPdv+Ω2fPdv.

Теорема о среднем значении.

Теорема (о среднем значении). Если функция f(P) непрерывна в замкнутой кубируемой области Ω, то найдется точка Pc∈Ω, такая, что будет справедлива формула

ΩfPdv=fPcV,