Эллипс

№5 дәріс тақырыбы: Эллипс

Оқу нәтижелері Эллипс және гипербола тақырыбы бойынша теориялық материалдарды біледі, түсінеді, есептер шығару барысында формулаларды тиімді қолданады.

Дәріс жоспары

1. Эллипстің канондық теңдеуі
2. Эксцентриситет және директриса

Дәріс тезистері

Эллипс деп берілген екі [pic 1] және [pic 2] нүктелеріне (эллипс фокустарына) дейінгі ара қашықтықтарының қосындысы фокустарының ара қашықтығы болатын [pic 3] санынан үлкен болатын тұрақты [pic 4] шамасына тең нүктелер жиынын айтамыз.

Фокустары арасындағы ара қашықтық фокальдық ара қашықтық деп аталады.

Егер [pic 5] - берілген эллипсте жататын нүкте болса, онда  [pic 6] және  [pic 7] шамалары [pic 8] нүктесінің фокальдық радиустары деп аталады.

Екі  [pic 9] және [pic 10] нүктелері беттескен жағдайда эллипс радиусы [pic 11]-ға тең шеңбер болатыны анықтамасынан шығады. Яғни шеңбер эллипстің дербес жағдайы болып табылады.

[pic 12] осі  [pic 13] және [pic 14] фокустары арқылы өтетіндей және  [pic 15] нүктесі [pic 16] кесіндісінің ортасы болатындай тік бұрышты координат жүйесін таңдап алайық. Онда [pic 17], [pic 18], ал эллипстің кез келген [pic 19] нүктесінің фокальдық радиусы сәйкесінше

[pic 20].

Анықтама бойынша [pic 21], сондықтан [pic 22].

Екі рет квадраттап, біраз түрлендіру арқылы

[pic 23]

теңдеуіне келеміз,  мұндағы  [pic 24]. Бұл теңдеу эллипстің канондық теңдеуі деп аталады.

Эллипстің қасиеттері.

1. Координат остері эллипстің симметрия остері болса, координат басы оның симметрия центрі болып табылады .
2. Эллипс координат остерін [pic 25] нүктелерінде қияды.
3. Эллипстің кез келген [pic 26] және [pic 27] нүктелері мына шарттарды қанағаттандырады: [pic 28].
4. Бірінші координаттық ширекте орналасқан эллипс нүктелері үшін олардың [pic 29] абсциссасы [pic 30]-ден [pic 31]-ға дейін өскен сайын  [pic 32] ординатасы     [pic 33][pic 34]-дан [pic 35]-ге дейін кемиді.

[pic 36] және [pic 37] кесінділері эллипстің сәйкесінше үлкен және кіші осьтері деп аталады.

Эллипстің эксцентриситеті деп [pic 38] санын айтамыз. Элипс үшін  [pic 39] болатыны айқын. Эксцентриситеттің нольге тең болуы үшін  [pic 40], яғни эллипстің шеңбер болуы қажетті және жеткілікті.