Binom teoremasi

[pic 1]

Qrim Respublikasi Ta'lim, fan va yoshlar vazirligi

Qrim kichik fanlar akademiyasi "Izlovchi"

Kafedra: matematika

Bo'lim: matematik modellashtirish

Binom teoremasi

Men ishni bajardim

_______________________

____ sinf o'quvchisi

Ilmiy direktor

MAZMUNI

KIRISH……………………………………………………………………………….3

1-BO'lim. NYYTON BINOMIAL FORMULA…………………………………..4

1.1. Kombinatsiyalar va ularning xossalari……………………………………………….4

1.2. Nyutonning binomial formulasini chiqarish……………………………………………………6

1.3. Paskal uchburchagi……………………………………………………9

1.4. Polinom teoremasi…………………………………………………15

1.5. Nyuton binomialining masala yechishda qo‘llanilishi………………………….17

1.6. Nyutonning binomial formulasini taqribiy hisoblarga qo‘llash...18

2-BO'lim. KUVVATLAR YIG'INDASI ​​VA Farqlanishi FORMULALARI…………………20

2.1. MMI yordamida formulalarni chiqarish………………………………………..20

2.2. Bezout teoremasi va uning oqibatlari……………………………………….21

XULOSA…………………………………………………………………………………..25

FOYDALANILGAN MANBALAR RO‘YXATI……………………………….26

MUROJAATLAR……………………………………………………………………………..27

KIRISH

Nyuton binomi Konan Doylning "Xolmsning oxirgi ishi" romanida muhokama qilinadi. Xuddi shu ibora A.A.Tarkovskiyning "Stalker" filmida qayd etilgan. Nyutonning binomiali "Ertangi kun uchun jadval" filmida, Lev Tolstoyning "Yoshlik" hikoyasida Nikolay Irteniyevning universitetga kirish imtihonlarini topshirayotgani epizodida va Zamyatinning "Biz" romanida eslatib o'tilgan.

Suhbatdosh o'zi duch kelgan muammolarning murakkabligini bo'rttirib ko'rsatayotganini ta'kidlamoqchi bo'lganda, ular: "Menga Nyutonning binomial ham yoqadi!" Aytishlaricha, mana Nyutonning binomiali, bu murakkab, ammo sizda qanday muammolar bor! Hatto qiziqishlari matematikaga hech qanday aloqasi bo'lmagan odamlar ham Nyutonning binomial haqida eshitgan.

"Binomial" so'zi binomial degan ma'noni anglatadi, ya'ni. ikki shartning yig'indisi. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari maktab kursidan ma'lum:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2, (a + b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 + b3.

Ushbu formulalarning umumlashtirilishi Nyutonning binomial formulasi deb ataladigan formuladir. Kvadratlarning ayirmalarini, kublarning yig’indilarini va ayirmalarini faktoring formulalari maktabda ham qo’llaniladi. Ular boshqa darajalarga umumlashtiriladimi? Ha, bunday formulalar bor, ular ko'pincha turli muammolarni hal qilishda qo'llaniladi: bo'linish qobiliyatini isbotlash, kasrlarni kamaytirish, taxminiy hisoblar.

Umumlashtiruvchi formulalarni o'rganish deduktiv-matematik fikrlash va umumiy fikrlash qobiliyatlarini rivojlantiradi.

O'rganish ob'ektlari: Nyuton binomiali, yig'indilar formulalari va darajalar farqlari.

Ishning maqsadi: qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini umumlashtirish, ularning masalalarni yechishda qo'llanilishini ko'rsatish.

Tadqiqotning vazifalari: 1) ushbu masala bo'yicha ma'lumotlarni o'rganish va tizimlashtirish; 2) Nyuton binomialidan foydalangan holda masalalarga misollar keltiring va darajalar yig'indisi va ayirmasi formulalarini keltiring.

1-BO'lim

NYYTON BINOMIY FORMULA

1. Kombinatsiyalar va ularning xususiyatlari

X n ta elementdan iborat to‘plam bo‘lsin. K elementni o'z ichiga olgan X to'plamning har qanday Y kichik to'plami, k ≤ n bo'lgan n dan k elementning birikmasi deyiladi.

n dan k elementning turli birikmalari soni Cnk bilan belgilanadi. Kombinatorikaning eng muhim formulalaridan biri Cnk soni uchun quyidagi formuladir:

[pic 2]

Aniq qisqartmalardan keyin quyidagicha yozilishi mumkin:

[pic 3]

Ayniqsa,

[pic 4]

Bu X to'plamda 0 ta elementdan iborat faqat bitta kichik to'plam - bo'sh kichik to'plam mavjudligiga to'liq mos keladi.

Cnk raqamlari bir qator ajoyib xususiyatlarga ega.

Formula to'g'ri

Snk = Sn-kn, (3)

(3) formulaning ma'nosi shundan iboratki, X ning barcha k a'zoli kichik to'plamlari to'plami bilan X ning barcha (n - k) a'zoli kichik to'plamlari to'plami o'rtasida yakkama-yakka muvofiqlik mavjud: bu muvofiqlikni o'rnatish uchun, Y ning har bir k a'zoli kichik to'plami uchun X to'plamdagi to'ldiruvchisini solishtirish kifoya.

To'g'ri formula S0n + S1n + S2n + … + Snn = 2n (4)

Chap tarafdagi yig'indi X to'plamining barcha kichik to'plamlari sonini ifodalaydi (C0n - 0 a'zoli kichik to'plamlar soni, C1n - bir a'zoli kichik to'plamlar soni va boshqalar).

Har qanday k, 1≤ k≤ n uchun tenglik to‘g‘ri bo‘ladi

Ckn = Cn-1k + Cn-1k-1 (5)

Bu tenglikni (1) formuladan foydalanib olish oson. Haqiqatdan ham,

[pic 5]

Misol. C83 ni hisoblang.

Yechim.

[pic 6]

Misol.

C172 - C152 ni hisoblang.

Yechim.[pic 7]

Misol. Tenglamalarni yeching:

a) Cx3 = 2∙Cx2;

[pic 8]

x – 2 = 6;

x = 8.

b) Cxx-2 = 15;

Cxx-2 = Cxx-x+2 = Cx2;

x∙(x - 1) = 30 = 6∙5;

x = 6.

c) Cx2 + Cx+12 = 49;

x∙(x - 1) + (x + 1)∙x = 98;

x2 = 49; x ê N;

x = 7.

d) 13C2nn+1 = 7C2n+1n-1; n ê N.

13C2nn-1 = 7C2n+1n-1

13·(n + 2) = 7·(2n + 1),